6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

平面向量基本定理及坐标表示 环节五 平面向量数量积的坐标表示 高中数学人教A版必修第二册单元教学设计 引入新知 已知两个向量，． 若，是两个单位正交向量，那么向量，如何用，表示呢？ 问题1 【答案】由向量坐标的定义可知：，． 追问 若，是两个单位正交向量，那么，，分别等于什么？ 【答案】由于，是两个单位正交向量，则向量与夹角为，且， 于是， ，． 新知探究 问题2 【答案】由于，，就可以用、来表示，， 已知，，能否用向量，的坐标表示呢？ 即，． 于是． 因为，， 所以． 结论：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 新知探究 问题3 【答案】因为， 已知向量，那么向量的模如何表示？ 所以． 所以． 新知探究 ①已知向量，则向量的模． 所以． 追问 在平面直角坐标系中，已知，，那么又如何表示呢？ 【答案】因为，，所以． 所以． ②已知两点,，则． 结论： 新知探究 问题4 已知，，能否用向量，的坐标表示呢？ 【答案】因为，， 又因为 结论：已知，，则的充要条件是． 因此的充要条件是． 所以． 新知探究 由向量数量积的定义得：， 追问 已知，，如何用向量，的坐标求出它们的夹角呢？ 【答案】因为，， 所以，，． 结论：已知向量，，则． 所以． 知识应用 例1 【解析】由题意可得： 已知，，，求证：直角三角形． ，． 所以． 所以，即， 故直角三角形． 知识应用 例2 【解析】由于向量，，则有 ＝＝，＝＝ ＝＝＝． ＝＝＝． ＝＝＝． 已知，＝，求，，，与的夹角． 知识应用 例2 已知，＝，求，，，与的夹角． 【解析】因为＝＝， 故向量与的夹角＝． 所以＝＝， 知识应用 【答案】利用向量的数量积求两个非零向量夹角的步骤总结如下． 你能总结利用向量的数量积求两个非零向量夹角的步骤么？ 问题5 （2）求出两个向量的模； （1）利用两个向量数量积的坐标公式求出两个向量的数量积； （3）由＝求出两个向量夹角的余弦值； （4）在范围内根据的值确定两个非零向量的夹角． 知识应用 则． 用向量的方法证明两角差的余弦公式． 例3 由向量数量积的坐标运算公式得： 【解析】如图所示，在平面直角坐标系中作单位圆，以轴的非负半轴为始边作角，，它们的终边与单位圆分别交于、两点． 图1 图2 即 ①． 知识应用 因为， 用向量的方法证明两角差的余弦公式． 例3 由①与②两式得：． 由图1可知：， 【解析】设向量与的夹角为，由向量数量积的定义得： 由图2可知：， ． 所以 ②． 图1 图2 知识应用 所以． 用向量的方法证明两角差的余弦公式． 例3 【解析】所以， 所以， 图1 图2 归纳小结 【答案】（1）这节课我们学习的主要内容有： （1）这节课我们学习了哪些主要内容？ （2）你能作出思维导图对本单元的知识进行总结么？ 问题5 类型名称 已知条件 坐标表示 向量的模长 ， ， 两点间的距离公式 ， 向量的数量积 ， 向量的夹角 ， 向量垂直的充要条件 ， 归纳小结 【答案】（2）本单元知识导图如下： 问题5 平面向量基本定理及坐标表示 向量的坐标运算 向量数量积的坐标运算 向量数量积的坐标表示 向量垂直的充要条件 向量的模、向量的夹角的坐标表示 向量加、减运算的坐标表示 向量加法运算的坐标表示 、两点对应的向量 向量减法运算的坐标表示 平面向量的坐标表示 向量数乘运算的坐标表示 向量数乘运算的坐标表示 线段定比分点及中点坐标公式 向量共线的充要条件 平面向量基本定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解 一组基底向量 $