6.3.2&6.3.3&6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教A版2019必修第二册)

6.3.2&6.3.3&6.3.4 平面向量的正交分解及坐标表示、 平面向量加减法运算的坐标表示、平面向量的数乘运算及坐标表示 重点：平面向量的坐标表示、平面向量共线定理的坐标表示； 难点：平面向量加、减法坐标运算的应用、平面向量的共线问题。 一、平面向量正交分解 1、平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 2、平面向量的坐标表示 （1）在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.对于平面内的一个向量，有且只有一对实数、，使， 把有序数对叫做向量的坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标.在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. （2）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设、，则，. （3）若是坐标原点，设，则向量的坐标就是终点的坐标，即若，则点坐标为，反之亦成立. （4）特殊向量的坐标：． 【注意】 1、在直角坐标平面内，以原点为起点的向量，点A的位置被向量a唯一确定， 此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)． 2、平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关； 应把向量坐标与点坐标区别开来，只有起点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． 3、符号(x，y)在直角坐标系中有两重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 为了加以区分，在叙述中，就常说点(x，y)或向量(x，y)． 特别注意：向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号． 4、（1）平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式， 只是两个基向量e1和e2互相垂直． （2）由向量坐标的定义，知两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等， 即a＝b⇔x1＝x2且y1＝y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． （3）向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． （4）当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变． 二、平面向量的坐标运算 1、已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 2、若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 3、已知，则向量，共线的充要条件是 三、线段的定比分点及 设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：                                   (内分)                         (外分)()                 (外分) () （1）定比分点坐标公式：若点，，为实数，且， 则点坐标为，我们称为点分所成的比. （2）点的位置与的范围的关系： ①当时，与同向共线，这时称点为的内分点； ②当()时，与反向共线，这时称点为的外分点. （3）若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则； 特别地为的中点. 题型一 对正角分解概念的理解与辨析 【例1】（2022·全国·高一）（多选）已知向量，对坐标平面内的任一向量，下列说法错误的是（ ） A．存在唯一的一对实数，使得 B．若，则，且 C．若x，y∈R，，且，则的起点是原点O D．若x，y∈R，，且的终点坐标是，则 【变式1-1】（2020秋·河北石家庄·高一统考期末）向量，，，在正方形网格中的位置如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2019·高一）在平面直角坐标系中，，与x轴正半轴的夹角为，则向量的坐标是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022·高一）已知分别是方向与轴正方向、轴正方向相同的单位向量，O为原点，设(其中)，则点A位于（ ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-4】（2022·全国·高一）在平面直角坐标系xOy中，向量、、的方向如图所示，且、、，分别计算出它们的坐标． 题型二 用坐标表示平面向量 【例2】（2021春·上海杨浦·高一复旦附中校考期末）若点的坐标为，点坐标为，则的坐标为______. 【变式2-1】已知，，若，则点的坐标为（ ） A．（3，2） B．（3，-1） C．（7，0） D．（1，0） 【变式2-2】（2022春·高一课时练习）设x，y为实数，已知点A（l，2），B（3，2），向量与相等，求x，y的值． 【变式2-3】将向量＝(－2,－2)绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为