5.3.1函数的单调性课件（第二课时）-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.1 函数的单调性（第二课时） 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 学习目标 1.巩固对“函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系”的理解 2.利用导数研究函数的单调性． 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 一 新课引入 我们知道： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 问题：如何求函数f(x) = x3-x-2x+1的 单调区间? 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 讲授 新课 求函数f(x) = x3-x2-2x+1的单调区间 分析 ：函数 f(x) = x3-x2-2x+1的定义域为R， 对f(x)求导数，得f ′(x)= x2 -x-2=(x-2)(x+1) 令f ′(x)=0 ，解得x=2 ，或x=-1 x=2 和x=-1把函数定义域划分成三个区间，f ′(x) 在各个区间的正负，以及 f(x)的单调性、图像如分别表示如下： 单调递增 单调递减 单调递增 所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，如图所示. 小结： 利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤： 第1步，确定函数f (x)的定义域； 第2步，求出导数f ′(x)的零点； 第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性. 跟踪练习 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： （1） f(x)=3x-x3 （2）f(x)=x3 -x2 -x 解：（1）函数f(x)=3x-x3 定义域为 R .对f(x)求导，得f ′(x)=3-3x2 ,令f ′(x)=0，得x=-1,或x=1。 x=1 和x=-1把函数定义域划分成三个区间，f ′(x) 在各个区间的正负，以及 f(x)的单调性表示如下： 单调递减 单调递增 单调递减 （2）函数 f(x)=x3 -x2 -x 的定义域为R ,对f(x)求导，得f ′(x)=3x2 -2x-1,令f ′(x)=0，得x=-,或x=1。 单调递增 单调递减 单调递增 .研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况 (2) y′=3x2越来越大 函数y=x3 的递增速度越来越快，图像上升的越陡 y = x3 小结 函数增减的快慢与导数的关系： 一般地，设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，函数在区间(a, b)上变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”； 反之，如果导数的绝对值越大，函数在区间 (a, b)上变化得较快，函数的图象就比较“陡峭”. 例2 设x>0,f(x)=lnx,g(x)=1-,这两个函数图像如图所示，判断f(x),g(x)的图像与c1、c2间的对应关系 因为 g(x)=1- (x>0) 所以 g´(x)= ;f(x)=lnx, f ′(x)= f(x)、g(x)在 (0,+∞) 上单调递增. 而随着x的增大，当0<x<1,f ′(x)<g´(x) 所以，g(x)的图像比f(x)的图像陡； 当x>1时，f ′(x)>g´(x),f(x)的图像比 g(x)的图像陡。所以f(x)图像是c2；g(x)的图像是C1 三 课堂练习 证明函数 f(x)=2x3-6x2+7 在区间（0,2）上单调递减. 分析 函数f(x)=2x3-6x2+7 的定义域为 R, 对f(x)求导，得f ′(x)=6x2-12x ,令f ′(x)<0， 得 0<x<2. 所以函数 f(x)=2x3-6x2+7 在区间（0,2）上单调递减 四 课堂小结 1.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤？ 2.函数增减的快慢与导数的关系： 设函数y=f(x)，在区间(a, b)上： 如果导数的绝对值越小，