2023年中考数学专题——锐角三角函数的综合应用

2023年中考数学专题——锐角三角函数的综合应用 一、综合题 1.在中,,为锐角且,. (1)求的度数. (2)求的长. (3)求的面积. 2.如图,海中有两个小岛C、D,某渔船在海中的A处测得小岛D位于东北方向上,且相距30海里,该渔船自西向东航行一段时间到达B处,此时测得小岛C恰好在点B的正北方向上,且相距75海里,又测得点B与小岛D相距30海里. (1)求sin∠ABD的值; (2)求小岛C、D之间的距离(计算过程中的数据不取近似值). 3.为缓解交通拥堵,某区拟计划修建一地下通道,该通道一部分的截面如图所示(图中地面AD与通道BC平行,通道水平宽度BC为8米,∠BCD=135°,通道斜面CD的长为6米,通道斜面AB的坡度i=1:. (1)求通道斜面AB的长; (2)为增加市民行走的舒适度,拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓,修改后的通道斜面DE的坡角为30°,求此时BE的长. (答案均精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.45) 4.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,连结AC,BC. (1)求证:∠ACO=∠BCD; (2)若CD=6,∠A=30°,求阴影部分的面积. 5.如图,在矩形中,E是上一点,于点F,设. (1)若,求证:; (2)若,,且D、B、F在同一直线上时,求λ的值. 6.如图,点F在平行四边形ABCD的对角线AC上,过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E,连接BF,已知∠ABF=∠FBC+∠DAC. (1)求证:四边形ABEF是菱形; (2)若BE=6,AD=10,tan∠CBE=,求AC的长. 7.如图,在正方形中,是等边三角形,的延长线分别交于点E,F,连接,与相交于点H. (1)求证∶. (2)求的值 (3)求的值. 8.如图,已知∠ABC和射线BD上一点P(点P与点B不重合),且点P到BA.BC的距离为PE、PF. (1)若∠EBP=40°,∠FBP=20°,PB=m,试比较PE、PF的大小; (2)若∠EBP=α,∠FBP=β,α,β都是锐角,且α>β.试判断PE、PF的大小,并给出证明. 9.如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学知识测量居民楼的高度AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长,斜坡的倾斜角为,.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为,在D点处测得楼顶端A的仰角为(点A,B,C,D在同一平面内). (1)求C,D两点的高度差; (2)求居民楼的高度(结果保留根号). 10.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,E是AC边上一点.且满足AD=AB,∠ADE=∠C. (1)求证:AB2=AE•AC; (2)若D为BC中点,AE=4,EC=6,且tanB=3,求△ABC的面积. 11.已知:如图,已知中,,点E是边上的一点,且,. (1)求的长; (2)求的余弦值. 12.如图,已知在四边形中,,,,. (1)的长; (2)如果点E为的中点,连接,求的正切值. 13.如图,已知在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB⊥AC,CD⊥BD. (1)求证:; (2)若,S△AOD=4,求S△BOC的值. 14.如图,在矩形ABCD中,AF⊥BD于点E,交BC边于点F.AG平分∠DAF交BD于点G,并经过CD边的中点H. (1)求证:BG=AB. (2)求的值. (3)若CF,试在BD上找一点M(不与B,D重合),使直线MC经过四边形DEFH一边的中点,求所有满足条件的BM的值. 15.平行四边形中,垂直于,且,交于点. (1)若,,求的长; (2)求证:. 16.如图,在平行四边形 中, 于点 , 于点 ,平行四边形 的周长为 28,面积为 40,.求: (1)的长; (2) 的值. 17.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD. (1)求证:DF=CF; (2)若∠CDF=60°,DF=6,求矩形ABCD的面积. 18.知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 一般要满足 .如图,现有一架长 的梯子 斜靠在一竖直的墙 上. (参考数据: , , , , , , , , ) (1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端 与地面距离的最大值; (2)当梯子底端 距离墙面 时,计算 等于多少度?并判断此时人是否能安全使用这架梯子? 19.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,点D是的中点,连接OD,交AC于点E,作BFCD,交DO的延长线于点F. (1)求证:四边形BCDF是平行四边形. (2)若AC=8,连接BD,tan∠DBF= ,求直径AB的长及四边形ABCD的周长. 20.一段东西方向的海岸线MN上,小明从点A测得灯塔C位于北偏西15°方向,向东走300米到达