2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运用

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运用 一、综合题 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝16，CE＝6，连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点． （1）求证：∠CAD＝∠CBA． （2）求AB的长． 2．如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 3．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 4．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由; （2）求证：BC2=CD•2OE; （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 5．如图，已知是⊙O的直径，C为⊙O上一点，的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，，求DE的长． 6．如图，D是等腰三角形底边的中点，过点 作． （1）求证：是的直径； （2）延长交于点E，连接，求证：； （3）若，，求长． 7．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆上，AD平分∠BAC，连接OD交BC于点E. （1）求证：OD∥AC. （2）若AB＝10，BC＝8，连结BD，求BD的长. 8．如图，以的直角边为直径作⊙O，交斜边于点A，于点D，点F是的中点，连接与相交于点G，延长与的延长线相交于点P. （1）求证：是⊙O的切线； （2）求证：点G为的中点； （3）若，且⊙O的半径长为3，求的长度. 9．如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F． （1）求证：DH是⊙的切线； （2）若E为AH的中点，求的值． 10．如图，在中，，点D在AB上，以BD为直径的与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M． （1）求证：四边形EMFC是矩形； （2）若，的半径为2，求FM的长． 11．如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H． （1）求证：直线HG是的切线； （2）若，求CG的长． 12．如图，AB是⊙O的直径，E为⊙O上的一点，∠ABE的平分线交⊙O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且∠PCA＝∠CBD. （1）求证：PC为⊙O的切线； （2）若PC＝BO，PB＝12，求⊙O的半径及BE的长. 13．如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，． （1）连接AF，求证：AF是的切线； （2）若，，求FD的长． 14．如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径． 15．如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B． （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长． 16．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE. （1）求证 ； （2）当 时，求CE的长. 17．如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，过点作的切线交的延长线于点. （1）求证：； （2）若，，求的长. 18．图，在中，AB＝AC，⊙O是的外接圆，点D在⊙O上且∠BCD＝∠ACB，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF. （1）求证：AF是⊙O的切线； （2）若点G是的内心，，求BG的长. 19．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC、BD. （1）求证：△AEC∽△DEB； （2）连接AD，若AD=3，∠C=30°，求⊙O的半径. 20．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是边BC的中点，连结DE. （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AD＝4，BD＝9，求⊙O的半径. 21．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝.求证： （1）AC＝BD； （2）△ABE∽△DCE. 22．如图，为的直径，点是上一点，与相切于点，过点作，连接，. （1）求证：是的角平分线； （2）若，，求的长； （3）在（2）