2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与周长问题 一．选择题 1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确 2．已知抛物线y＝ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B，P是其对称轴x＝1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b＝0，②x＝3是ax2+bx+3＝0的一个根，③△PAB周长的最小值是+3．其中正确的是（　　） A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③ 3．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题： ①当x＞0时，y＞0； ②若a＝﹣1，则b＝4； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 其中真命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题 4．已知二次函数y＝ax2（a≥1）的图象上两点A，B的横坐标分别为﹣1，2，O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△AOB的周长为　 　． 5．如图在抛物线y＝x（a﹣x）（a＞0）与x轴所围图形的内接矩形ABCD（边BC在x轴上）中，当矩形周长最大时，它的两边长AB＝　 　，BC＝　 　． 6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的顶点为D．下列三个判断：①当x＞0时，y＞0；②抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；③点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是　 　． 三．解答题 7．已知抛物线y＝﹣x2﹣bx+c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P为抛物线的对称轴上一动点，当△PBC的周长最小时，求点P的坐标； （3）在第二象限的抛物线上，是否存在一点Q，使得△ABQ的面积最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5） （1）求b，c，m的值； （2）如图，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标． （3）若第（2）问中的D点的横坐标为n，≤n≤4，则四边形DEFG的周长是否有最大值或最小值，若有，直接写出这个值；若没有，填写“不存在”．最小值：　 　最大值：　 　． 9．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； （3）设点M是线段BC上的一个动点，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N，是否存在使MN长度最大的点M，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）． （1）求抛物线的解析式； （2）直线AB的函数解析式为 　 　，点M的坐标为 　 　，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 　 　； （3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小，则点Q的坐标为 　 　． 11．如图，已知：抛物线y＝ax2+bx+c经过A（3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点． （1）求直线AB及抛物线的解析式； （2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求出使△PBC周长最小的点P的坐标； （3）若点D的坐标为（﹣1，0），在抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于△ABC的面积的2倍？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由． 12．如图，是一个仓库的横截面，截面的轮廓可以看成由一个矩形ABCD和抛物线的一部分组成，AB＝2m，AD＝4m，抛物线的顶点M到AD的距离为4m．为了测算