2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与相似三角形 一．选择题 1．已知抛物线y＝﹣x2+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（　　） A．始终不相似B．始终相似C．只有AB＝AD时相似D．无法确定 2．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10cm，点P，点Q同时从点B出发，点P以2cm/s的速度沿B→A→C运动，终点为C，点Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM和MN均为抛物线的一部分），给出以下结论：①AC＝6cm；②曲线MN的解析式为y＝﹣t2+t（4≤t≤7）；③线段PQ的长度的最大值为；④若△PQC与△ABC相似，则t＝秒，其中正确的说法是（　　） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 二．填空题 3．如图，抛物线y＝﹣x﹣2交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，分别过点B，C作y轴，x轴的平行线，两线交于点D，将△BDC绕点C逆时针旋转，使点D旋转到y轴上得到△FEC，连接BF．在线段BC上存在点P，使得以点P，A，B为顶点的三角形与△BOC相似，则点P的坐标为　 　． 4．如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点，若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，若存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似．请求出点N的坐标　 　． 5．如图，抛物线y＝x2﹣1的顶点为C，直线y＝x+1与抛物线交于A，B两点．M是抛物线上一点，过M作MG⊥x轴，垂足为G．如果以A，M，G为顶点的三角形与△ABC相似，那么点M的坐标是　 　． 6．如图所示：抛物线y＝x2﹣2x﹣3交坐标轴于A、B、C三点，D是抛物线的顶点，M在对称轴上，P在坐标轴上．以下结论： ①存在点M，使△AMC是等腰直角三角形； ②AM+CM的最小值是3； ③AM﹣CM的最大值是； ④若△APC与△BCD相似，则P的坐标恰有两个． 其中正确的是　 　（只填序号） 三．解答题 7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为点D，抛物线的对称轴与BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求抛物线的函数关系式； （2）连结DA，求sinA的值； （3）若点H线段BC上，△BOC与△BFH相似，请直接写出点H的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系内，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．过点A的直线y＝x+2与抛物线交于点E，且点E的横坐标为6．点P为第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）在点P的运动过程中，是否存在点P使得△AEP的面积最大，求这个最大值和点P的坐标； （3）在（2）的条件下，在x轴上求点Q，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABE相似． 9．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC． （1）求点A、B、C的坐标； （2）设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线PN⊥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M． ①当点P在线段AB上时，设MN的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段OB上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与△COB相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（3，0），B（0，3）两点． （1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式； （2）如图①，动点E从O点出发，沿着OA方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以个单位/秒的速度向终点B匀速运动，当E，F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF，设运动时间为t秒，当t为何值时，△AEF与△ABO相似． （3）如图②，动点P在直线AB上方，且在抛物线上，求出△PAB的最大面积，并指出此时点P的坐标． 11．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），过点A的直线y＝﹣x﹣1与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线AC的下方，且PE＝2DE时，求点P的坐标； （3）当直线PD为x＝1时，在直线PD上是否存在点Q，使△ECQ与△EDA相似？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明你的理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，y＝﹣x+2与x轴交于点B，