2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与特殊的三角形

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与特殊的三角形 一.选择题 1.抛物线与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线上,则关于△OAB的判断正确的是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 2.抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣1,0),B(3,0),交y轴的负半轴于C,顶点为D.下列结论:①2a+b=0;②2c<3b;③当m≠1时,a+b<am2+bm;④当△ABD是等腰直角三角形时,则a=;⑤当△ABC是等腰三角形时,a的值有3个.其中正确的有( )个. A.5 B.4 C.3 D.2 3.定义:若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.如图,直线l:y=x+b经过点M(0,),一组抛物线的顶点B1(1,y1),B2(2,y2),B3(3,y3),…Bn(n,yn) (n为正整数),依次是直线l上的点,这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是:A1(x1,0),A2(x2,0),A3(x3,0),…An+1(xn+1,0)(n为正整数).若x1=d(0<d<1),当d为( )时,这组抛物线中存在美丽抛物线. A.或 B.或 C.或 D. 二.填空题 4.如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以P,O,Q为顶点,且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是 . 5.如图,P是抛物线y=2(x﹣2)2对称轴上的一个动点,直线x=t平行y轴,分别与y=x、抛物线交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= . 6.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1,3.与y轴负半轴交于点C,在下面五个结论中: ①2a﹣b=0;②c=﹣3a;③当m≠1时,a+b<am2+bm;④若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2;⑤使△ACB为等腰三角形的a值可以有三个. 其中正确的结论是 .(只填序号) 三.解答题 7.综合与实践 如图,抛物线y=ax2+x+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标是(4,0),点C的坐标是(0,2),抛物线的对称轴交x轴于点D,连接CD. (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)点E在x轴上运动,点F在抛物线上运动,当以点B,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形,直接写出点E的坐标. 8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣6(a≠0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC,OB=2,对称轴为直线x=﹣2(提示:点(x1,y1)与(x2,y2)之间的距离为) (1)求抛物线的解析式; (2)点D是第三象限内抛物线上的动点,连接AD和CD,求△ACD面积的最大值; (3)点E在抛物线的对称轴上,若△ACE为直角三角形,请直接写出点E的纵坐标. 9.在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=ax2+bx+c(a≠0)经过(0,2),(﹣2,2)两点. (1)若抛物线C1:y=ax2+bx+c经过(1,0),求抛物线解析式; (2)抛物线C1:y=ax2+bx+c与直线y=x+2有M,N两个交点,O为坐标原点,若△MNO是以MN为腰的等腰三角形,请直接写出a的值; (3)直线y=x+2分别与抛物线C1:y=ax2+bx+c,抛物线C2:y=﹣ax2﹣bx+c恰好有三个公共点,若其中一个公共点是另外两个公共点连接线段的中点,求a的值. 10.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(m,n),B(4﹣m,n),C(1,4)三点,顶点为P. (1)求抛物线的解析式; (2)如果△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形,求△PAB的面积; (3)若直线l1:y=k1x﹣2k1与抛物线交于D,E两点,直线l2:y=k2x﹣2k2与抛物线交F、G两点,DE的中点为M,FG的中点为N,k1k2=﹣2,求点P到直线MN距离的最大值. 11.如图,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,连接BC. (1)求点A、B、C的坐标; (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t,过点P作直线PN⊥x轴,交抛物线于点N,交直线BC于点M. ①当点P在线段AB上时,设MN的长度为s,求s与t的函数关系式; ②当点P在线段OB上时,是否存在点P,使得以O、P、N三点为顶点的三角形与△COB相似?若存在,