7.2 复数的四则运算（六大题型）-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

7．2 复数的四则运算 【题型归纳目录】 题型一：复数代数形式的加、减运算 题型二：复数加减法的几何意义 题型三：复数模的综合问题 题型四：复数代数形式的乘法运算 题型五：复数代数形式的除法运算 题型六：在复数范围内解方程 【知识点梳理】 知识点一、复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． （2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式． 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 知识点二、复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 知识点三、复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： 知识点诠释： （1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． （2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式． 2、乘法运算律： （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律： 【典型例题】 题型一：复数代数形式的加、减运算 【方法技巧与总结】 解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 例1．（2023·高一单元测试）已知，且，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设，则 ，， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 例2．已知，且，，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设，则 ，， 因为，所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 例3．（2023春·甘肃白银·高一统考期末）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】依题意得，，对应复平面的点是，在第四象限. 故选：D. 变式1．（2023春·广西桂林·高一统考期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A 变式2．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）设复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【解析】，， 故选:B. 题型二：复数加减法的几何意义 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 例4．（2023·高一课时练习）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 【解析】， 对应的两个复数相加的运算过程： 例5．（2023·高一课时练习）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 【解析】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示， 根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数. 例6．（2023·高一课时练习）如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0，3＋2i，－2＋4i．求： （1）向量对应的复数； （2）向量对应的复数； （3）向量对应的复数． 【解析】（1）因为，所以向量对应的复数为－3－2i； （2）因为＝－，所以向量对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i； （3）因为＝＋，所以向量对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i． 变式3．（2023·高一课时练习）已知四边形是复平面内的平行四边形，是