第14讲 特殊的平行四边形的翻折、旋转问题-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第14讲 特殊的平行四边形的翻折、旋转问题 【基础知识】 1、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题 图形的折叠（翻折），意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。 2、以特殊四边形为背景的旋转问题 旋转是图形的一种重要变换，在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果。图形的旋转变换，既要借助推理，但更要借助直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更加敏锐。 本专题以特殊的平行四边形为背景，研究翻折与旋转变换下的角度、长度、周长、面积、坐标等问题。 【考点剖析】 考点1：平行四边形中的折叠（翻折）问题 例1．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出； 【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD 由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°， ∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AE B′≌Rt△CDE∴EB′=DE ∵在等腰Rt△AEC中， ∴ ∵在Rt△DEC中， ，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1 在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1∴=故选：B 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 变式1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可． 【详解】解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴△GEF是等边三角形，∴EF＝FG＝GE＝6， ∴△GEF的周长为6×3＝18，故选：C． 【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键． 变式2．（2022.广东八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__． 【答案】 【分析】过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案． 【详解】解：过E作EH⊥AD于H，∵AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝EB＝2， ∵∠A＝45°，EH⊥AH，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，∴AH＝， ∵点A′在∠BAD外部，则由题意知△FQE为等腰三角形，∴∠FEB＝∠FQE， 设∠AFE＝a，∵△EFA'为△EFA根据EF对折，∴∠AFE＝∠A'FE＝a，∴∠BEF＝， 又∵∠BEF为△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，∴＝45°+a，∴a＝30°， 在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，∴EF＝，∴， 又∵BC＝AD＝2，∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝故答案为：． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 例2．（2022.重庆八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E是边CD上一点，将沿AE折叠至处，与CE交于点F，若，，则的度数为（ ） A．40° B．36° C．50° D．45° 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质得出，由折叠的性质得，，由三角形的外角性质求出，由三角形内角和定理求出，即可得出的大小． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， 由折叠的性质得：，，， ， ．故选：B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出和是解决问题的关键． 变式3．（2022.江苏八年级期中）如图，平行四边形纸片中，，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，则