第15讲 特殊的平行四边形的最值与动态轨迹问题-2023年寒假八年级数学衔接知识自学讲义（人教版）

第15讲 特殊的平行四边形的最值与动态轨迹问题 【基础知识】 1、以特殊平行四边形为背景的最值问题 以特殊的平行四边形为背景重点对最值模型（将军饮马模型、胡不归模型、瓜豆模型、费马点模型等）进行分析梳理，希望对大家以后处理最值问题有所帮助。 2、以特殊四边形为背景的动态轨迹问题 1）动中求静，发现运动变化中的不变量、不变图形； 2）把相关的量用含变量的代数式表示列方程或确定函数的关系； 3）把握运动中的特殊位置，临界位置，分段、分情况讨论。 【考点剖析】 考点1：平行四边形中的最值模型 例1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，BC＝6，CD＝6，E是AD边上的中点，F是AB边上的一动点，将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF，连接A′C，则A′C长度的最小值为（　　） A．3 B．3 C．3﹣3 D．6 【答案】C 【分析】连接EC，过点E作EM⊥CD于M，先求出线段ME、DM的长度；运用勾股定理求出EC的长度，即可解决问题． 【详解】解：如图所示，过点E作EM⊥CD交CD的延长线于点M， ∵在平行四边形ABCD中，∠D＝150°，∴∠EDM＝30°， ∵E是AD边上的中点，∴DE＝AD＝BC＝3，AE＝A'E＝3，∴Rt△DEM中，EM＝，DM＝， ∵CD＝6∴CM＝，∴Rt△CEM中，CE＝， ∵A'E+A'C≥CE，∴A'C≥CE﹣A'E，∴当点A'在CE上时，A'C的最小值＝CE﹣A'E＝3﹣3，故选：C． 【点拨】此题主要考查平行四边形内线段最值求解，解题的关键是勾股定理的性质及平行四边形的性质． 变式1．（2022·安徽定远·八年级期中）如图，四边形是平行四边形，，，，点是直线上的点，点是直线上的点，连接，，，点，分别是，的中点．连接，则的最小值为（       ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线性质可得MN是AE的一半，则当AE最小时，MN最小，利用30°直角三角形求出AE最小值，解答即可． 【详解】解：∵点，分别是，的中点，∴MN是△AEF的中位线，∴MN， ∴当AE最小时，MN最小，当AE⊥BC时，AE最小，在四边形是平行四边形，， ∴AB//CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∴∠ABC =60，∵AE⊥BC，∴∠AEB =90°， ∴∠BAE =30°，∴BE，∴ ，∴MN，∴MN最小为：． 【点睛】本体考查了三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形中位线以及30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键． 例2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，四边形是平行四边形，，，，点、是边上的动点，且，则四边形周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，此时四边形的周长为，则当点、、三点共线时，四边形的周长最小，进而计算即可得解． 【详解】如下图，将点沿向右平移2个单位长度得到点，作点关于的对称点，连接，交于点，在上截取，连接，，∴，， 此时四边形的周长为， 当点、、三点共线时，四边形的周长最小， ，，，经过点，，， ，，，， 四边形周长的最小值为，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了四边形周长的最小值问题，涉及到含的直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相关轴对称作图方法以及线段长的求解方法是解决本题的关键． 例3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则2PB+ PD的最小值等于______. 【答案】 【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=AB=3，得到2PB+ PD的最小值等于6. 【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=PD， ∵2PB+ PD=2（PB+PD）=2(PB+PE)， ∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上， ∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=AB=3， ∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键. 考点2：矩形中的最值问题 例1．（2022•鄂州八年级模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝10，B