2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题

2023年中考数学高频压轴题突破——二次函数与面积问题 一.选择题 1.如图,小明设计了一个电子游戏,一个跳蚤从横坐标为t(t>0)的P1点开始按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=ax2上向右跳动,得到P1,P2,P3,这时△P1P2P3面积为( ) A.a B.2a C.3a D.4a 2.如图,二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于A,B两点(A在B的左边),与y轴交于点C,顶点为M,△MAB为直角三角形,图象的对称轴为直线x=﹣2,点P是抛物线上位于A,C两点之间的一个动点,则△PAC的面积的最大值为( ) A. B. C. D.3 3.如图,点A(a,b)是抛物线上一动点,OB⊥OA交抛物线于点B(c,d).当点A在抛物线上运动的过程中(点A不与坐标原点O重合),以下结论:①ac为定值;②ac=﹣bd;③△AOB的面积为定值;④直线AB必过一定点.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二.填空题 4.已知二次函数y=x2﹣2x﹣8的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,则△ABC的面积为 . 5.如图,抛物线y=ax2﹣4和y=﹣ax2+4都经过x轴上的A、B两点,两条抛物线的顶点分别为C、D.当四边形ACBD的面积为40时,a的值为 . 6.如图,抛物线y=a(x﹣1)2+(a≠0)经过y轴正半轴上的点A,点B,C分别是此抛物线和x轴上的动点,点D在OB上,且AD平分△ABO的面积,过D作DF∥BC交x轴于F点,则DF的最小值为 . 三.解答题 7.如图,已知抛物线y=﹣x2+ax经过点A(4,0)和点B(1,m),其对称轴交x轴于点H,点C是抛物线在直线AB上方的一个动点(不含A、B两点). (1)求a、m的值. (2)连接AB、OB,若△AOB的面积是△ABC的面积的2倍,求点C的坐标. (3)若直线AC、OC分别交该抛物线的对称轴于点D、E,试问DH+EH是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣6(a≠0)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,连接AC,OB=2,对称轴为直线x=﹣2(提示:点(x1,y1)与(x2,y2)之间的距离为) (1)求抛物线的解析式; (2)点D是第三象限内抛物线上的动点,连接AD和CD,求△ACD面积的最大值; (3)点E在抛物线的对称轴上,若△ACE为直角三角形,请直接写出点E的纵坐标. 9.如图1,抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点D为线段OB上一点,点E为抛物线上一动点. (1)求b的值; (2)点D坐标为(3,0),点E在第一象限的抛物线上,设△ECD的面积为S,求S的最大值; (3)如图2,点D坐标为(4,0),是否存在点E,使∠ABE=∠ODC,若存在,请求出点E坐标,若不存在,说明理由. 10.如图1所示,抛物线y=﹣+x+4与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于C. (1)求△ABC的面积; (2)如图2所示,点P是直线BC上方抛物线上的动点,过点P作直线PE∥y轴交BC于点E,过点P作直线PF⊥AC交x轴于点F,请求出PE+PF的最大值及此时点P的坐标; (3)将抛物线y=﹣+x+4向左平移个单位,得到新抛物线y',点M是新抛物线y'对称轴上一点,N为平面直角坐标系内一点,直接写出所有使得以点B、C、M、N为顶点的菱形的点N的坐标,并写出其中一个点N坐标的求解过程. 11.已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(m,n),B(4﹣m,n),C(1,4)三点,顶点为P. (1)求抛物线的解析式; (2)如果△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形,求△PAB的面积; (3)若直线l1:y=k1x﹣2k1与抛物线交于D,E两点,直线l2:y=k2x﹣2k2与抛物线交F、G两点,DE的中点为M,FG的中点为N,k1k2=﹣2,求点P到直线MN距离的最大值. 12.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(﹣2,0)、B(6,0)两点,与y轴交于点C(0,﹣3). (1)求抛物线的表达式; (2)点P为直线BC下方的抛物线上一个动点,当△PBC面积最大时,求点P的坐标; (3)点P在直线BC下方的抛物线上,连接AP交BC于点M,当最大时,求点P的横坐标及的最大值. 13.如图,在平面直角坐标系内,抛物线y=ax2+bx﹣4(a≠0)与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.过点A的直线y=x+2与抛物线交于点E,且点E的横坐标为6.点P为第四象限内抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的表达式; (2)在点P的运动过程中,是否存在点P使得△AEP的面积最大,求这个最大值和点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在x轴上求点