江苏省 南京师范大学第二附属高级中学2022-2023学年上学期高一数学寒假作业一

高一数学寒假作业一 一、单选题 1. 已知集合𝐴 = {𝑥|𝑦 = ln(𝑥 − 1)}，𝐵 = {𝑥|𝑥2 − 𝑥 − 6 < 0}，则𝐴 ∩ 𝐵 =( ) A. {𝑥|1 < 𝑥 < 2} B. {𝑥|1 < 𝑥 < 3} C. {𝑥|𝑥 > −2} D. {𝑥|𝑥 > 1} 2. “𝑎 ≥ 6”是“函数(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥在(2,3)上单调递减”的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数既是奇函数又在(−1,1)上是增函数的是 ( ) A. 𝑦 = cos ( 𝜋 2 + 𝑥) B. 𝑦 = − 2 𝑥 C. 𝑦 = ln  2−𝑥 2+𝑥 D. 𝑦 = 2𝑥 − 2−𝑥 4. 已知曲线𝑦 = 𝑎𝑥−1 + 1(𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1)过定点(𝑘, 𝑏)，若𝑚 + 𝑛 = 𝑏且𝑚 > 0, 𝑛 > 0，则 4 𝑚 + 1 𝑛 的最小值 为 ( ) A. 9 2 B. 9 C. 5 D. 5 2 5. 已知函数𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 − 𝜋 6 )(𝜔 > 0)，若∀𝑥 ∈ 𝑅，𝑓(𝑥) ≤ 𝑓( 𝜋 3 )，则𝜔的最小值为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知幂函数𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎的图象过点(3, 1 3 )，则函数𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)𝑓(𝑥)在区间[ 1 3 , 1]上的最小值是 ( ) A. −1 B. −2 C. −4 D. −8 7. 若函数𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，对于任意两个正数𝑥1、𝑥2(𝑥1 < 𝑥2)，都有𝑥2 ⋅ 𝑓(𝑥1) > 𝑥1 ⋅ 𝑓(𝑥2). 记𝑎 = 25𝑓(0.22)，𝑏 = 𝑓(1)，𝑐 = −(log5 3)𝑓(log1 3  5)，则𝑎、𝑏、𝑐的大小关系为 ( ) A. 𝑎 > 𝑏 > 𝑐 B. 𝑎 > 𝑐 > 𝑏 C. 𝑏 > 𝑐 > 𝑎 D. 𝑐 > 𝑏 > 𝑎 8. 已知函数𝑓(𝑥) = sin(𝜔𝑥 + 𝜑)(𝜔 > 1,−𝜋 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋)是𝑅上的偶函数，其图像关于点𝑀( 3𝜋 4 , 0)对称，且 在区间[0, 𝜋 2 ]上是单调递减函数，则𝜔和𝜑的值分别为 ( ) A. 2，− 𝜋 2 B. 10 3 ，− 𝜋 2 C. 2， 𝜋 2 D. 10 3 ， 𝜋 2 二、多选题 9. 已知𝑥，𝑦 ∈ 𝑅，且0 < 𝑥 < 𝑦，则( ) A. 𝑠𝑖𝑛𝑥 < 𝑠𝑖𝑛𝑦 B. √𝑥 < √𝑦 C. 2𝑥−𝑦 < 1 D. 𝑥 𝑥+1 < 𝑦 𝑦+1 10. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 + 𝜑)(𝐴 > 0,𝜔 > 0, |𝜑| < 𝜋 2 )的部分图象如图所示，下列说法正确的是 ( ) A. 函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图象关于点(− 𝜋 6 , 0)对称 B. 函数𝑦 = 𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥 = − 5𝜋 12 对称 C. 函数𝑦 = 𝑓(𝑥)在[− 2𝜋 3 , − 𝜋 6 ]单调递减 D. 该图象向右平移 𝜋 6 个单位可得𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象 11. 关于函数𝑓(𝑥) = lg 𝑥2+1 |𝑥| (𝑥 ≠ 0)，有下列命题，其中正确结论的序号是( ) A. 其图象关于𝑦轴对称 B. 当𝑥 > 0时，𝑓 (𝑥)是增函数；当𝑥 < 0时，𝑓 (𝑥)是减函数 C. 𝑓 (𝑥)在区间(−1,0)、(1,+∞)上是增函数 D. 𝑓 (𝑥)无最大值，也无最小值 三、填空题 12. 已知函数𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥−3 + 𝑥(𝑎 > 0且𝑎 ≠ 1)的图像经过定点𝐴，且点𝐴在角𝜃的终边上，则 sin𝜃−cos𝜃 sin𝜃+cos𝜃 = ． 13. 有下列命题中： ①在与530°角终边相同的角中，最小的正角为170°； ②若角𝛼的终边过点𝑃(−3,4)，则cos𝛼 = − 3 5 ； ③已知𝜃是第二象限角，则tan(sin𝜃) · tan(cos𝜃) > 0； ④若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 4 𝜋 ． 正确命题的序号是