6.4.3.1余弦定理讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

必修第二册 第六章 平面向量专题四 解三角形 ----- 余弦定理 一、知识梳理： 1.余弦定理及推论 余弦定理：在中，内角，所对的边分别是,则： ; 推论1： 推论2： ⇔ ⇔ ⇔ 二、典例剖析 1．在中，所对的边分别为，已知，，．求的 2．在△中，内角所对的边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求△的面积. 3．在△中. (1)已知，，，求； (2)已知，，，求a； (3)已知，，，求A； (4)已知，，，求c. 4．在△中，如果，求的值. 5．已知在中，角所对的边分别为，且，，，解此三角形. 三、跟踪训练： 1．中，已知，则边为（    ） A． B．或 C． D． 2．在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 3．在中，，则的值为（    ） A． B．－ C．－ D． 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 5．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 6．若中，，，，则______． 7．在中，若，则的长为_____． 8．在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 必修第二册 第六章 平面向量专题四 解三角形 ----- 余弦定理 1、 知识梳理 1.余弦定理及推论 余弦定理：在中，内角，所对的边分别是,则： ； ; ; 推论1： ； ； 推论2： ⇔C为直角； ⇔C为钝角； ⇔C为锐角. 2.正弦定理及其变形 正弦定理： .（其中为外接圆的半径） 变形： （1）（可实现边到角的转化） （2）（可实现边到角的转化） （3） 3.三角形常用面积公式 (1)； (2)； (3)（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； (4)S＝，其中P＝(a＋b＋c)． 二、典例剖析 1．在中，所对的边分别为，已知，，．求的值． 【答案】 【分析】利用余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得：，解得：. 2．在△中，内角所对的边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求△的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解； （2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得 ，即， 解得， （2）∵，且， ∴, 由得，, ∴. 故△的面积为. 3．在△中. (1)已知，，，求； (2)已知，，，求a； (3)已知，，，求A； (4)已知，，，求c. 【答案】(1). (2). (3). (4). 【分析】应用余弦定理，结合各小问的条件，由边求角或由角求边即可. (1) 由余弦定理知：. (2) 由余弦定理知：，则. (3) 由余弦定理知：，又， ∴. (4) 由余弦定理知：， ∴. 4．在△中，如果，求的值. 【答案】. 【分析】由已知条件，令，结合余弦定理即可求的值. 【详解】由，令， ∴. 5．已知在中，角所对的边分别为，且，，，解此三角形. 【答案】答案见解析 【分析】先利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出，然后利用三角形内角和定理可求出角. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 可得， 所以，解得或. ①当时，，所以，； ②当时，由余弦定理得， 因为， 所以，所以. 三、跟踪训练： 1．中，已知，则边为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理解三角形即可. 【详解】在中，由余弦定理得，， 所以. 故选：C 2．在中，，则的最小角为 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据条件给出的三边确定的最小角为，直接利用余弦定理计算，即可完成求解. 【详解】由已知，在中，， 因为，所以的最小角为， 所以， 又因为， 所以. 故选：C. 3．在中，，则的值为（    ） A． B．－ C．－ D． 【答案】C 【分析】由题意可设，再根据余弦定理求解即可. 【详解】解：因为， 所以设， 由余弦定理可得. 故选：C. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理，将已知量代入即可解得答案. 【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）. 故选：D. 5．已知中，，则角A等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理边化角，可得的值，即得答案. 【详解】由中，可得 , 由于 ,故 , 故选：A 6．若中，，，，则______． 【答案】或 【分析】由已知可求得.分与两种情况，根据余弦定理，即可求出结果. 【详解】因为，，所以. 当时，由余弦定理， 因为，，解得； 当时，由余弦定理， 因为，，解得. 故答案为：或. 7．在中，若，则的长为___