福建省龙岩市一级校2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题

龙岩市一级校2022-2023学年第一学期期末高三联考 数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B B A D D B 7.【解析】由图可知,三角形的底边是固定的,则点的运动直接影响着三角形面积的变化。由图可知,三角形的面积大小变化为:小大小大小,再考虑当点落在线段上以及点与点或重合时,都构成不了三角形,所以大小变化为:先正负,(三点共线),再正负,故选择D. 8.【解析】法一:由题意得,第一个参加面试的一定是男生,最后一次参加面试的一定是女生,男女生面试的排序应为“男男***女”或“男女男**女”,所以. 法二:如图:以下5种情况符合题意,所以所求概率为 . 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。 题号 9 10 11 12 答案 AC AB AD BCD 12.【解析】由(2)知,中的元素满足消去率,所以0. 设,由(1)知,都是中的元素,由集合元素的互异性,必存在整数使得.由于,所以故有。因为是整数,且,所以,即1. 若且,由(1)知,存在整数使得,即.令,又因为则. 由条件(1),不妨令,则有,再令,则有,如此循环,则都是数集的元素,又已知数集只有4个元素,考虑集合元素的互异性,则元素必需满足一定的周期性,且周期为,考虑复数恰满足此性质,故数集,即数集. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13. 14. 15. 16. 15.【解析】如图,取的中点为,连接,则, 因为平面平面,平面平面, 平面,,所以平面. 在中, 由余弦定理, 得,所以, 所以为直角三角形. 所以球心在直线上,所以, 解得,所以该球的表面积为. 16.【解析】如图,四边形为平行四边形, 因为,所以. 因为,且, 所以,, 在中, 由余弦定理, 得,所以离心率为. 四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分) 解:(1)因为,① 所以当时,, ② ①-②得, 1分 即, 因为,所以, 2分 所以数列从第二项起,是公差为1的等差数列. 由①知,因为,所以, 所以当时,,即. ③ 4分 又因为也满足③式,所以(). 5分 注:没有验证的情况扣1分. (2)由(1)得, 6分 ,④ , ⑤ 7分 ④-⑤得,, 8分 所以, 9分 故. 10分 18.(12分) 解:(1)△中,由正弦定理,得, 则,,, 故可化为, 2分 整理,得, 4分 又,故,即. 6分 (2)△中,由余弦定理,得,即,(*) 7分 又,所以,代入(*),得, 整理,得, 9分 又因为, 10分 所以,解得或(舍去), 11分 故,故△的面积. 12分 19.(12分) 解法一:(1)由已知条件可得. 1分 ∵平面平面,平面平面, ∴平面. 过点在平面作,则. 2分 以点为原点,所在的直线为轴,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图. 由已知可得. ∴. 设平面的法向量为, 则∴ 令,得平面的一个法向量为, 4分 ∴点M到平面的距离. 6分 (2)假设在线段上存在点,使得与平面所成角为. 设,则, 7分 ∴, 8分 又∵平面的法向量且直线与平面所成角为, ∴, 10分 可得, ∴(舍去). 11分 综上,在线段上存在点,使与平面所成角为,此时. 12分 解法二:(1)由已知条件可得,, ∴. 1分 ∴又,∴. ∵平面平面,平面平面, ∴平面. 即为三棱锥的高, 2分 又,∴, 3分 又∵点为线段中点, ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离的, ∴,………………4分 ∵,,,∴, 5分 设点到平面的距离为,则,即 解得=,∴设点到平面的距离等于. 6分 (2)同解法一. 解法三:(1)∵点为线段中点, ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离的, 1分 由已知条件可得. 2分 ∵平面平面,平面平面, ∴平面. 3分 又∵,∴. 4分 ∵,ADBC,∴, 又,∴, ∴点到平面的距离等于线段的长. 5分 ∵,∴点到平面的距离等于 6分 (2)同解法一. 20.(12分) 解:(1)记“甲队获得冠军”为事件,“决赛进行三场比赛”为事件, 由题可知, 2分 , 4分 ∴当甲队获得冠军时,决赛需进行三场比赛的概率为. 6分 (2)设比赛主办方在决赛前两场中共投资(千万元), 其中, 若需进行第三场比赛,则还可投资(千万元), 记随机变量为决赛的总盈利,则可以取,, 7分 ∴,, 9分 ∴随机变量的分布列为 ∴的数学期望, 10分 令,则, 11分 ∴当,即时,取得最大值, ∴比赛主办方在决赛的前两场的投资额应为千万元,即