6.2.4向量的数量积（一）课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

环节六 向量的数量积（一） 平面向量的概念与运算 高中数学人教A版必修第二册单元教学设计 情境 前面我们学习了向量的加、减、数乘运算，类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘呢？如果能，那么向量的乘法该如何定义？ 复习引入 在物理课中我们学习过功的概念：如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功，其中是与的夹角. 答案：这里的力F与位移s都是矢量，既有大小，又有方向，也就是我们数学中的向量，而功是一个标量，即我们数学中的数量，它由力和位移两个向量来确定，也就是说功这个数量，是力和位移这两个向量运算的结果．这种运算类似于“相乘”，又不同于“相乘”． 问题1 以上情境中的力、位移、功分别是数学中的什么量？这种求功的运算是一种什么样的运算？ 复习引入 问题2 以上情境中以上情境中，，其中的是向量与的夹角，那么任意两个向量的夹角是什么呢？ 新知探究 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作，则（）叫做向量a与b的夹角． 追问1 如图，向量c、d的夹角是否为？若不是，又是什么？ 答案：向量c、d的起点没有置于同一点，故夹角不是，平移向量d至向量c的起点，可知向量c、d夹角为． 新知探究 追问2 对于任意两个非零向量a、b，他们夹角的范围是什么呢？有哪些情况比较特殊？ 两向量夹角的范围是[0，π]： 当时，a与b同向；当时，a与b反向； 当时，a与b夹角为锐角；当时，a与b夹角为钝角； 当时，a与b夹角为直角，我们就说向量a与b垂直，记作a⊥b． 新知探究 问题3 有了向量夹角的定义之后，我们就能模仿功的定义，给出向量“数量积”的定义了，你能尝试描述一下吗？ 已知两个非零向量a与b，他们的夹角是，我们把数量叫做向量a与b的数量积（或内积），记作 ． 并规定：零向量与任一向量的数量积为0． 注意：中的“”不能省略，也不能用“×”来代替． 新知探究 追问1 你能用自己的语言来描述一下向量数量积的定义吗？ 答案：，即两个非零向量的数量积就等于它们模长的乘积再乘以夹角的余弦值． 追问2 向量数量积的运算结果是向量还是数量？ 答案：是数量．因为表达式中，，，都是数量，所以三者的乘积也是数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 新知探究 追问3 两非零向量a与b数量积的符号由什么决定？ 在定义式中，因为，均为正值，所以的符号仅由的正负决定，而的正负又由的大小决定，所以我们可以得到如下的结论： 当时，； 当时，； 当时，． 新知探究 例1 已知，，的夹角，求． 应用举例 解：. 例2 设，求a与b的夹角． 解：由，得. 因为，所以． 问题4 阅读教材P18页中间两段内容，说一说什么是向量的投影，什么是投影向量？ 新知探究 设a、b是两个非零向量，，我们作如下变换： ①过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到向量，我们称这种变换为向量a向向量b投影； ②上述过程中得到的向量就叫做向量a在向量b上的投影向量． 追问1 若在平面内任取一点O，作，此时向量a又如何向向量b作投影？投影向量又是谁？ 新知探究 答案：与前面的过程类似，此时因为两向量共起点，故只需过点M作直线ON的垂线，记垂足为M1，得到的向量就是向量a在向量b上的投影向量． 追问2 在追问1的条件下，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系，来试着探究一下吧？ 新知探究 答案：显然，与e共线，于是．下面我们尝试通过对分类来讨论出更具体的关系． 追问2 在追问1的条件下，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为，那么与e，a，之间有怎样的关系，来试着探究一下吧？ 新知探究 当为锐角时，与e方向相同，，所以； 当为直角时，，所以； 当为钝角时，与e方向相反， ，所以； 当时，，所以； 当时，，所以； 对于任意的，都有． 问题5 从上面的探究我们看到，两个非零向量a与b相互平行或垂直时，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．这时，他们的数量积又有怎样的特殊性呢？来尝试探究吧！ 新知探究 设a，b是非零向量，他们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量，则： （1）． （2）． （3）当a与b同向时，；当a与b反向时， ． 特别地，，或； 此外，由还可以得到 （4）． 例3 在△ABC中，设，若已知，试判断该三角形的形状． 应用举例 解：因为, 而, 所以,从而，△ABC为钝角三角形． 问题6 本环节我们学习了向量的哪种运算？其定义是如何得到的？它又有哪些性质？ 梳理总结 答案：本环节我们学习了向量的数量积运算，即设向量的夹角为，则定义它们的数量积为，也就是说两个向量的数量积就等于它们模的积再乘以其夹角的余弦值．向量的数量积是一个数量．数量积的定义是类比物理中功的概念得到的． 问题6