6.4.1平面几何中的向量方法 课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

环节一 平面几何中的向量方法 平面向量的应用 高中数学人教A版必修第二册单元教学设计 引入新课 问题1：你能从整体上叙述一下我们是如何研究向量的吗？ 答：前面我们先学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算. 平面向量的概念 平面向量的运算 平面向量基本定理及坐标表示 引入新课 追问：我们在解决向量问题时，有哪些常用方法？ 答：可以考虑任意选取适合的基底来表示相关向量，通过向量运算求解；也可以通过建立坐标系，把向量的运算归为向量坐标的运算，使向量运算完全数量化. 课堂探究 问题2 以前我们是如何研究平面几何的？ 答：研究平面几何常用的方法是综合法，它依据基本的逻辑原理，从公理、定理、性质等出发，通过演绎推理解决几何问题，综合法所给出的几何论证严谨且优雅. 追问：以前的方法在研究平面几何中最大的缺点是什么？ 答：综合法不同的问题通常缺乏统一的解法步骤，没有一般规律可循，具有较大的思维难度. 课堂探究 答：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决. 问题3 能否用向量来解决平面几何问题呢？为什么？ 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问1：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？解决这一向量问题的思路是怎样的？ 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问1：我们要证明的结论可以转化为怎样的向量问题？解决这一向量问题的思路是怎样的？ 答：证明DE//BC，DE=BC可以归结为证明，利用向量的共线来解决. 可以把问题进行转化，选取{,}为基底，用,分别表示进行证明. 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问2：如何利用上述思路来完成证明？ 证明：如图2，因为DE是△ABC的中位线，所以 =，=. 从而 又，所以 于是DE//BC，DE=BC. 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问3：你能利用向量坐标的方法进行证明吗？ 证明：建立以B为原点，BC为x轴的平面直角坐标系. 设A（x1，y1）C（x2，0）. 因为DE是△ABC的中位线， 所以 所以，（x2，0） 所以，于是DE//BC，DE=BC. 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问4：你能梳理一下我们上面解决问题的思路吗？ 答：在用向量方法解决几何问题时，我们先用向量表示相应的点，线段等几何元素，然后通过向量的运算来研究这些元素之间的关系，最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论. 课堂探究 例1 DE是△ABC的中位线，用向量方法证明： DE//BC，DE=BC. 问题4 追问5：据此，能归纳出解决此类问题的一般步骤吗？ 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平画几何问题转化为向量问题， （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题 （3）把运算结果“翻译”成几何关系. 知识应用 问题5 例2 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 追问1：我们如何通过向量来发现和解决这一问题？ 答：平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们的模之间的关系. 问题5 例2 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 追问2：如何利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”来表示和发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系？ 答：第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题： 选取{,}为基底，设，，则， 知识应用 问题5 例2 已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？ 追问2：如何利用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”来表示和发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系？ 知识应用 答：第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系； = = 上面两式相加，得= 问题5 例2 已知平行四边形AB