三角函数基础知识复习讲义-2023届高三数学一轮复习

第一节三角函数基础 一、三角函数常用公式定理 1.二倍角公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α 2.二倍角常用公式变形: tanα±tanβ=tan(α±β)(1≠tanαtanβ) 3.辅助角公式: 其中 如 4.降幂公式 升幂公式 提升:升幂公式、降幂公式就是二倍角公式变形. 5.万能公式 6.射影定理 acosC+ccosA=bbcosC+ccosB=aacosB+bcosA=c 7.角分线定理与中线定理 当AD为△ABC的角平分线时, 当AD为△ABC中线时, 平行四边形对角线平方和等于四边平方和. 8.米勒定理 设A、B是锐角∠MON的一边OM上的两点,在边ON上找一点P,使∠APB最大,△ABP外接圆切ON于P点. 三角形面积公式 (r为三角形内切圆半径) 二、三角函数图像变换 常见的三角函数图像的变换有平移、横向伸缩变换及纵向伸缩变换. 例1.已知函数的图像为c (1)为了得到函数的图像,只要把C上所有点向右平行移动个单位长度.所以向右平移个单位长度. (2)为了得到函数的图像,只要把C上所有的点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变. 例2.要由得到函数的图像 方法一:将纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到函数y=sin2x的图像,再将y=sin2x图像向右平移个单位长度,即得到函数的图像. 方法二:的图像向右平移个单位,得到函数图像,再将其横坐标变为原来的倍,即得到函数的图像. 三、三角函数定义域、值域最值问题 1.三角函数定义域考查较少,但需格外注意tanx函数的定义域,其余与函数定义域相同. 2.三角函数值域问题,如果三角函数只是一个元,利用换元法,然后通过函数求值域的方法,解决问题,注意“元”的定义域. 求函数的值域. 令cosx=t,-1≤t<1 函数值域为 求三角函数值域的常用方法:就是简单的化简,化成f(x)=Asin(ωx+φ)+k的形式,然后求值域. 求函数的值域. 值域[-2,4] 3.最值:值域都会了,最值就迎刃而解了. 四、三角函数奇偶性、单调、周期 1.奇偶性:对于三角函数奇偶性的考查,往往都是对函数奇偶性的考查. 判断的奇偶性. 函数定义域为{x|x≠2kπ+π,k∈Z}是关于原点对称. (注意:判断一个复合函数的奇偶性,首先看定义域.) 又∵ f(-x)=-f(x) 为奇函数 2.单调 (1)确定定义域 (2)知道cosx、sinx、tanx基本单调增减区间,每位同学都要熟记,记不住就画图推导 (3)复合函数同增异减. 求的单调区间. 定义域sin2x>0,2kπ<2x<2kπ+π(k∈Z),又为单调递减函数,根据同增异减。 当时为单调递减; 当时为单调递增. 所以 单调递增区间 单调递减区间 3.周期 题干中出现一个复杂的函数形式,想方设法化简成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,利用求周期 五、解三角形的常用套路和常见题型 1.正弦定理:R是△ABC外接圆半径. 正弦定理常见变形 (1)a=2RsinAb=2RsinBc=2RsinC(边到角的转换) (角到边的转换) (3)sinA:sinB:sinC=a:b:c 2.余弦定理 a²=b²+c²-2bccosAb²=a²+c²-2accosBc²=a²+b²-2abcosC余弦定理变形 说明:若A为锐角,则cosA>0,b²+c²-a²>0即.b²+c²>a². 若A为钝角,则cosA<0,b²+c²-a²<0即b²+c² 若A为直角,则cosA=0,b²+c²-a²=0即b²+c²=a². 将a²=b²+c²-2bccosA与b²=a²+c²-2accosB相加, 2c²-2bccosA-2accosB=0,即c=acosB+bcosA(射影定理). 3.三角形中常用结论 (1)A+B+C=π (2)在三角形中,大边对大角,小边对小角. (3)sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC (4)△ABC中,(∠A,∠B,∠C均不等于90°)tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC (5)△ABC中,A、B、C成等差数列的充要条件是B=60°. 学科网(北京)股份有限公司 $