2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合计算

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合计算 一、综合题 1.如图,AB为⊙O的直径,C为BA延长线上一点,CD与⊙O相切于点D. (1)求证:△CAD∽△CDB; (2)若sinC=,BD=6,求⊙O的半径. 2.如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD与直径AB相交于点F.点E在⊙O外,作直线AE,且∠EAC=∠D. (1)求证:直线AE是⊙O的切线. (2)若∠BAC=30°,BC=4,cos∠BAD=,CF=,求BF的长. 3.如图,AB为⊙O的直径,BC是⊙O的一条弦,点D在⊙O上,BD平分∠ABC,过点D作EF⊥BC,分别交BA、BC的延长线于点E、F. (1)求证:EF为⊙O的切线; (2)若BD=4 ,tan∠FDB=2,求AE的长. 4.如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,点D为劣弧AC上一点,弦DE⊥AB分别交⊙O于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延长线上一点且PC=PF. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)点D在劣弧AC什么位置时,才能使 ,为什么? (3)在(2)的条件下,若OH=1,AH=2,求弦AC的长. 5.已知,AB为⊙O的直径,AM与⊙O相切于点A,AC平分∠BAM,弦CD交AB于点E,DE=OE. (1)试判断△ABC的形状,并说明理由; (2)求证:OB2=OE•CD. 6.如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,弦BD=BA,AC=13,BC=5,BE⊥DC交DC的延长线于点E. (1)求证:CB是∠ECA的角平分线; (2)求DE的长; (3)求证:BE是⊙O的切线. 7.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB是⊙O的直径,AC和BD相交于点E,且DC2=CE•CA. (1)求证:BC=CD; (2)分别延长AB,DC交于点P,若PB=OB,CD=2 ,求⊙O的半径. 8.如图, ,以 为直径的 交 于点D,点E为弧 的中点,连结 交 于点F,且 . (1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由; (2)若 的半径为2, ,求 的长. 9.如图所示,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于点E,且C为弧BD的中点.若EC=2,tan∠CEB=2. (1) 求证:△ABE∽△DCE,并求出BE的长; (2) 求⊙O的面积. 10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,作ED⊥EB交AB于点D,⊙O是△BED的外接圆. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)已知⊙O的半径为2.5,BE=4,求BC,AD的长. 11.如图,以的边为直径作,交边于点D,为的切线,弦于点F,连结BE. (1)求证:. (2)若点F为中点,且,求线段的长. 12.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,连接AD,过点D作DM⊥AC,垂足为M,AB、MD的延长线交于点N. (1)求证:MN是⊙O的切线; (2)求证:DN2=BN•(BN+AC); (3)若BC=6,cosC= ,求DN的长. 13.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,点C在⊙O上,且PC2=PB•PA. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)已知PC=20,PB=10,点D是 的中点,DE⊥AC,垂足为E,DE交AB于点F,求EF的长. 14.如图,CD是⊙O的直径,CB是⊙O的弦,点A在CD的延长线上,过点C作CE⊥AB,交AB的延长线于点E,且CB平分∠ACE. (1)求证:直线AB是⊙O的切线; (2)若BE=3,CE=4,求⊙O的半径. 15.如图,是的直径,弦于点E,点F是上一点,且.连接,,交于点N. (1)若,,求的半径; (2)求证:; (3)连接并延长,交的延长线于点P,过点D作的切线,交的延长线于点M.求证:. 16.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,AD平分∠CAE交⊙O于点D,且AE⊥CD,垂足为点E. (1)求证:直线CE是⊙O的切线; (2)若BC=3,CD,求弦AD的长. 17.如图,在中,,在上取点,以为圆心,为半径作圆,若该圆与相切于点,与相交于点(异于点). (1)求证:平分; (2)若的长为,,求的半径. 18.如图,已知直线AC与⊙O相交于点C,直线AO与⊙O相交于D,B两点.已知∠ACD=∠B. (1)求证:AC是⊙O的切线; (2)若AC=6,AD=4,求⊙O的半径; 19.如图,钝角中,,为的外接圆,点为优弧上一点(不与,重合),连接,,交于点,的内心恰好落在上. (1)求证:AB∥CD; (2)连接,求证:; (3)若,,求的长. 20.如图,在 中, ,以 为直径作⊙O交 交于点 ,作切线 交 于点 ,过点 作 ,交 的延长线于点 ,交⊙O于点 ,连接 交 于点 . (1)求证: ; (2)若 , ,求 的长