山东省烟台市2022-2023学年高三上学期期末数学试题

2022~2023学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”的一个充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（ ） A 千克 B. 千克 C. 千克 D. 千克 5. 设分别为椭圆的左顶点和上顶点，为的右焦点，若到直线的距离为，则该椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 6. 勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知，为弧上的点且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 过直线上一点作圆两条切线，，若，则点的横坐标为（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足：为偶函数，且；函数，则当时，函数的所有零点之和为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图是某正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ） A B. 平面 C. 与所成角为60° D. 与平面所成角的正弦值为 10. 已知函数的图象关于直线对称，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递增 C. 的图象关于点对称 D. 若，且在上无零点，则的最小值为 11. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知过抛物线焦点的直线交于两点，交的准线于点，其中点在线段上，为坐标原点，设直线的斜率为，则（ ） A. 当时， B. 当时， C. 存在使得 D. 存在使得 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则________. 14. 已知向量，，若，则的值为______. 15. “0，1数列”是每一项均为0或1的数列，在通信技术中应用广泛.设是一个“0，1数列”，定义数列：数列中每个0都变为“1，0，1”，中每个1都变为“0，1，0”，所得到的新数列.例如数列：1，0，则数列：0，1，0，1，0，1.已知数列：1，0，1，0，1，记数列，，2，3，…，则数列的所有项之和为______. 16. 在直四棱柱中，底面是边长为1的正方形，侧棱，为侧棱的中点，在侧面矩形内（异于点），则三棱锥体积的最大值为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求面积的最大值. 18. 已知数列和的各项均不为零，是数列的前项和，且，，，，. （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 如图，是以为斜边的等腰直角三角形，是等边三角形，，. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 20. 某工厂拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的上端为半球形，下部为圆柱形，该容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分侧面的建造费用为每平方米2.25千元，半球形部分以及圆柱底面每平方米建造费用为千元.设该容器的建造费用为千元. （1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域； （2）求该容器的建造费用最小时的. 21. 已知双曲线的焦距为，，为的左、右顶点，点为上异于，的任意一点，满足. （1）求双曲线的方程； （2）过的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，，在轴上是否存在一定点，使得为定值？若存在，求定点的坐标和相应的定值；若不存在，说明理由. 22. 已知，，，为的导函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若存在使得对任意恒成立，求实数的取值范围. 2022~2023学年度第一学期