专题30圆锥曲线中定直线问题专练B卷—2023届高考数学重难点

专题30圆锥曲线中定直线问题专练B卷 1. 已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于、两点，线段的中点为，当时，点的横坐标为． 求抛物线的方程； 若直线与抛物线的准线交于点，点关于轴的对称点为，当的面积取得最小值时，求直线的方程． 2. 已知点为圆：上的一个动点，点在轴、轴上的射影分别是、，且． 求点的轨迹的方程； 斜率存在且不为零的直线经过点且交曲线于，两点，点为的中点，过点且与垂直的直线为，直线与直线交于点，试判断点是否在定直线上？若在，求出此定直线；若不在，请说明理由． 3. 已知椭圆的左、右顶点分别为，上顶点为焦距为，的面积为． 求椭圆的方程； 过点的直线与椭圆相交于、两点，试问直线、的交点是否在一条定直线上？若是，请写出直线方程，并给出证明；若不是，请说明理由． 4. 如图，椭圆：的离心率为，、分别为其短轴的一个端点和左焦点，且． 求椭圆的方程； 设椭圆的左、右顶点为，，过定点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，交于点，证明点在一条定直线上． 5. 在平面直角坐标系内，椭圆：过点，离心率为． 求的方程； 令椭圆的左、右顶点分别为，若过点且倾斜角不为的直线与相交于，两点，且直线，的交点，求证：点在一条定直线上． 6. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，且． Ⅰ求的标准方程； Ⅱ设的左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标轴垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上． 7. 已知椭圆：的离心率为，点、、、分别是椭圆的左、右、上、下顶点，且四边形的面积为． 求椭圆的标准方程； 已知点是椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点，记直线、的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程． 8. 已知椭圆与椭圆的离心率相同． 求的值； 过椭圆的左顶点作直线，交椭圆于另一点，交椭圆于、两点点在、两点之间． 求面积的最大值点为坐标原点； 设的中点为，椭圆的右顶点为，直线与直线的交点为，试探究点是否在某一条定直线上运动？若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】解：设点、的坐标分别为、， 由抛物线的定义得， 因为线段的中点为的横坐标为， 所以，即， 又，所以，即， 故抛物线的方程为． 设直线的方程为，由题意知， 联立，化简得， 则，所以， 所以， 联立，解得 所以直线与抛物线的准线交点的坐标为， 所以点关于轴的对称点的坐标为， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时的面积取得最小值，直线的方程为，即．  2.【答案】解：设点、，则，， 由，得，即 将点代入，化简得， 所以点的轨迹的方程为． 设直线的方程为，， 联立直线与曲线的方程，化简得， ， 设、，则， 因为点为线段的中点，所以， 所以，即点， 所以直线的方程为， 由题意知直线的方程为， 由和联立，解得， 所以点在定直线上．  3.【答案】解：，，即， 又，解得：，， 所求椭圆的方程为； 证明：由题意，设直线的方程为， 代入椭圆的方程消去整理得：， 设，，所以，， 直线方程为，直线方程为， ，故 解得： 因为，即 所以， 直线、的交点在直线上． 4.【答案】解：由已知，，，且， ，，因此椭圆的方程； 由题意，设直线：，，， 联立，得：， 由韦达定理，得， ； 设直线：，：， 联立两直线方程，消去得： ； 又，，并不妨设，在轴上方， 则，， 代入中，并整理得：， 将代入上式，并化简得， 解得， 因此直线，交于点在定直线上．  5.【答案】解：由题意可得，，即， 由，得，所以有， 故E的方程为． 根据题意，可设直线的方程为：， 由，消去并整理得：． 判别式． 设，，则，． 因直线的倾斜角不为，故，不等于不为，从而可设 直线的方程为， 直线的方程为， 所以，直线，的交点的坐标满足： ，所以 ， 因此，，即点在定直线上．   6.【答案】解：Ⅰ； ，则，， ，， ， ，， 的标准方程为． Ⅱ证明：设直线，，，， 由题意知，， 联立直线和椭圆得， 所以，， 由，，三点共线得， 由，，三点共线得， 所以， 代入，， 所以， 代入，， 化简得， 由题意知， 解得， 所以点在直线上．  7.【答案】解：设椭圆的半焦距长为， 因为椭圆：的离心率， 所以，所以， 因为点、、、分别是椭圆的左、右、上、下顶点，且四边形的面积为， 所以，， 所以四边形的面积， 所以，， 故椭圆的标准方程为． 证明：由知点、、、， 设点、、的坐标分别为、、，其中、、， 联立，整理得， ， 所以，， 由于直线经过点，设直线的方程为， 所以，， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 两式相除得 解得，故点在定直线上．  8.【答案】解：由题意知，椭圆，椭圆， 椭圆中，，，，则离心率， 椭圆中，，，，则离心率， 因为椭圆与椭圆的离心率相