专题30圆锥曲线中定直线问题专练A卷—2023届高考数学重难点

专题30圆锥曲线中定直线问题专练A卷 1. 已知圆：，圆：，动圆与圆内切，与圆外切．为坐标原点． Ⅰ求圆心的轨迹的方程． Ⅱ直线：与曲线交于，两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程． 2. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，两条曲线在第一象限内的交点满足． 求椭圆以及抛物线的标准方程； 设动直线：与椭圆有且只有一个公共点，过椭圆的左焦点作的垂线与直线交于点，求证：点在定直线上，并求出定直线的方程． 3. 已知椭圆的左、右端点分别为，，其离心率为，过右焦点的直线与交于异于，的，两点，当直线的斜率不存在时，． 求的方程． 若直线与交于点，试问点是否在一条定直线上若是，求出此定直线的方程，若不是，请说明理由． 4. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为． 求椭圆的方程； 直线与椭圆交于，两点，直线交椭圆于点，若，求直线的方程． 5. 在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为． 求双曲线的方程； 若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程． 6. 已知点在离心率为的双曲线上，过点的直线交曲线于，两点均在第四象限，直线，分别交直线于，两点． 求双曲线的标准方程； 若的面积为，求直线的方程． 7. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上． 求椭圆的方程； 设直线与圆：相切，切点在第一象限，与椭圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程． 8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为． 求的方程； 设，是直线上关于轴对称的两点，直线与交于，两点，证明：直线与的交点在定直线上． 答案和解析 1.【答案】解：Ⅰ设动圆的半径为， 依题意有，， 所以轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，所以， 当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去． 所以轨迹的方程． Ⅱ设，， 联立直线与椭圆的方程， 可得， ， ，得， 设原点到直线的距离为， ， ， 令，则， ，当且仅当时，等号成立， 即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．  2.【答案】解：由抛物线的方程可得焦点，准线的方程为， 由题意可得，所以，， 所以椭圆的方程为：， 联立方程组，整理可得：， 解得第一象限的交点的横坐标为：， 又因为， 由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得：， 解得：， 可得， 所以椭圆的标准方程为：； 抛物线的标准方程为：； 证明：由可得左焦点， 联立，整理可得：， 由直线与椭圆相切可得，且， 可得：，即， 代入可得，即， 解得：，， 即， 所以， 由题意可得， 所以直线的方程为：， 联立直线，的方程：，两式相除可解得：， 即在直线上，  3.【答案】解：由题意可设椭圆的半焦距为， 由题意得解得． 故椭圆的方程为． 设直线的方程为，， 联立整理得， 则，，所以， 由题意可得直线的方程为，直线的方程为， 联立直线，的方程，得， 即， 把代入上式，得， 即， 故点在定直线上．  4.【答案】解：由题意得，则 椭圆的离心率，． ，，， 故椭圆的方程为． 由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 联立方程组消去并整理得， 则，， ． 原点到直线的距离，且是线段的中点， 点到直线的距离为， ． 解得或舍去． ，故直线的方程为， 即或．  5.【答案】解：因为过的焦点垂直于实轴的弦长为， 将代入双曲线，得，则，                                                           又的一条渐近线方程为，则 ，                 由解得，， 所以双曲线的方程为   设、 当直线和坐标轴平行时，由， 得，结合， 解得，故此时点到直线的距离为        当直线和坐标轴线不平行时，设直线的方程为， 由消去，得， 则且  ， 且，                        因为，所以， 又因为，， 则 ， 即， 则可化为   点到直线的距离 ． 故点到直线的距离为定值                              因为的面积为，所以， 即，可得． 则  ， 结合，可得，解得，或    当时，，当时，这两种情形满足                  从而所求直线的方程为或．  6.【答案】解若焦点在轴上，设双曲线方程为 由题意得，解得， 所以双曲线的标准方程为； 若焦点在轴上，设双曲线方程为． 由题意得，此时无解． 综上所述双曲线的标准方程为． 设直线方程为，，， 联立得， 故，且，得， 又因为直线，与直线均相交，故，， 故直线， 取得， 同理， 由题意点到直线的距离是， 所以，解得． 又 故， 化简可得，得或， 而，故， 故直线方程为．  7.【答案】解