6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第2课时）正弦定理（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第2课时）正弦定理 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 1.掌握正弦定理及其推导过程. 2.掌握正弦定理的基本变形. 3.能够运用正弦定理解三角形、正弦定理的用途. 4.通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究过程， 培养学生的探究精神和创新意识. 学习目标 知识回顾: 1.余弦定理： 2. 余弦定理的推论： 3. 用余弦定理可以解决两种解三角形的题型： (1) 已知三边解三角形． (2) 已知两边及一角解三角形． 探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式.如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在∆ABC中, 设∠A的对边为a, ∠B的对边为b, 如何求A, B, a, b之间的定量关系. 为方便，不妨假设∆ABC为直角三角形，以此来分析三角形边角的定量关系. 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论. 实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为: 如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决： “在△ABC中，已知A, B, a, 求b”的问题. 思考 对锐角三角形和钝角三角形，上式是否仍然成立？ 问题：如图示，在Rt△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是 a, b, c，那么△ABC中边角之间有何定量关系？ 如图示，在Rt△ABC中， 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法来研究. 我们希望获得△ABC中的边a, b, c与它们所对角A, B, C的正弦之间的关系式. 在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究. 思考：向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？ 锐角三角形情形： 因此 钝角三角形情形： 因此 正弦定理 正弦定理： 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. 即 正弦定理可以解决： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形. • 正弦定理的变形： 解法1：由三角形内角和定理，得： 由正弦定理，得： 例7 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形. 例7 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形. 设△ABC的外接圆半径为R，则有 解法2：由三角形内角和定理，得 C=120°. 例8.在中，已知，，，解这个三角形. 解：由正弦定理 ，得： 因为，所以 于是或 (1)当时， 此时， 例8.在中，已知，，，解这个三角形. (2)当时， 此时， 注：由三角函数的性质可知，在区间内，余弦函数单调递减，所以利用余弦定理求角，只有一解；正弦函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以利用正弦定理求角，可能有两解. 课堂练习 由正弦定理，得 1. 完成下列解三角形问题 (角度精确到1°，边长精确到1 cm): (1) 在△ABC中，已知A = 60°，B = 45°，c = 20 cm； (2) 在△ABC中，已知a = 20 cm，b = 11 cm，B = 30°. 1. 完成下列解三角形问题 (角度精确到1°，边长精确到1 cm): (1) 在△ABC中，已知A = 60°，B = 45°，c = 20 cm； (2) 在△ABC中，已知a = 20 cm，b = 11 cm，B = 30°. 随堂检测 1.(1)在中，，则等于（ ）. A. B. C. D. 答案：A. 解(1)：因为，所以 因为根据正弦定理， 得故选A. 1.(2)在中，已知，，则 答案：. 解(2)：由正弦定理得，即， 解得 2.在中，已知求. 解：∵ ，∴，解得. 又∵，，∴.∴， ， ∴. 3.在中，若且试判断的形状. 解：(法一)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，， ∴ ∴.∵，∴ ∴是等腰直角三角形. 3.在中，若且试判断的形状. 解：(法二)根据正弦定理，得 . ∵∴ ∴是直角，∵ ∴ ∴.又，∴ ∴是等腰直角三角形. 6.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足acos B－bcos A＝c， 则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 B 课堂小结: 1. 正弦定理： 2. 正弦定理可以解决： （1）已知两角和一边，解三角形； （2）已知两边和其中一边的对角，解三角形. 在一个三角形中，各边和它所对角