6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第1课时）余弦定理（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.4.3 余弦定理、正弦定理 （第1课时） 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1.掌握余弦定理的证明方法，牢记余弦定理公式. 2.能够从余弦定理得到它的推论. 3.能够应用余弦定理及其推论解三角形. 知识回顾 1、实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2、向量共线的充要条件是 3、中点坐标 4、定比分点坐标公式： 5、两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 6、（1）若，则，或。 （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，那么 （3）。 7、设，都是非零向量，，是与的夹角， 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如：直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数. 一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法. 这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的. 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法研究这个问题. 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等. 这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？ 1. 余弦定理 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究. 探究：如图示，在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，怎样用a, b和C表示c？ 在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，已知a, b和C，求c. 同理可得 于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理. 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 利用余弦定理，可以由三角形的两边及其夹角直接求出第三边. 余弦定理： 思考 你能用其他方法证明余弦定理吗？ 如图示，在△ABC中，三个角A, B, C所对的边分别是a, b, c，证明： 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 余弦定理的推论： 利用余弦定理的推论，可以由三角形的三边直接求出三角形的三个角. 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量之间的关系吗？ 如果△ABC中有一个角是直角, 例如C=90°, 这时cosC=0. 由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用余弦定理可以解决： （1）已知两边及其夹角求第三边；（2） 已知三边求夹角. 余弦定理与勾股定理的关系： 例5 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm). 解： 例6 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求B (精确到1°). 解： 课堂练习 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 2. 在△ABC中，已知 解这个三角形. 3. 在△ABC中，已知b=5，c=2，锐角A满足 求C (精确到1°). 随堂检测 1.已知中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,,c=4, 解：由余弦定理可知，所以有，则。 解得：b=3.(舍去) 2.在中，若a=，b+c=10，求b,c。 3.在中， (1)若，，，求及. 解(1)：由余弦定理，得: =，∴ 由 ∵， ∴ 3.在中， (2)若，，，求，. 解(2)：由余弦定理，得: =， ∴即 由解得或 24 25 课堂小结: 1.余弦定理： 2. 余