第03课 平面向量的数量积-2022-2023学年高一数学大单元整合培优练（苏教版2019必修第二册）

第03课 平面向量的数量积 一、核心体系 二、必备知识 知识点1．两个向量的夹角 1.1．定义 已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角． 1.2．范围 向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°. 1.3．向量垂直 如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b. 知识点2．向量的投影 2.1.定义：在平面内任取一点，作.过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 2.2.投影向量计算公式: 当为锐角（如图（1））时，与方向相同，，所以； 当为直角（如图（2））时，，所以； 当为钝角（如图（3））时，与方向相反，所以，即. 当时，，所以； 当时，，所以 综上可知，对于任意的，都有. 知识点3．数量积的运算律 3.1．交换律：a·b＝b·a. 3.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3.3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 知识点4．向量数量积的性质 4.1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a. 4.2．a⊥ba·b＝0. 4.3．a·a＝|a|2，. 4.4．cos θ＝.(θ为a与b的夹角) 4.5．|a·b|≤|a||b|. 知识点5．数量积的坐标运算 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则： 1．a·b＝a1b1＋a2b2. 2．a⊥ba1b1＋a2b2＝0. 3．|a|＝. 4．cosθ＝＝.(θ为a与b的夹角) 三、高频考点+重点题型 考点一、平面向量数量积的定义及辨析 例1-1．（2022·吉林·吉化一中高一期末）设是任意向量，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：向量的数量积是数量，选项A错误； 是方向上的向量，是方向上的向量，显然等式不恒成立，选项B错误； ，选项C错误； ，向量的数量积满足乘法的运算法则，选项D正确． 故选：D． 例1-2．（多选）（2022·湖南·湘潭一中高二）已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（    ） A．， B．可能成立 C．若，则 D．若，则或 【答案】ACD 【详解】仍是向量，不是向量，A错； 不妨取，，，则， ，此时，B对； 若，，，则，但，C错； 若，，则，但，，D错. 故选：ACD. 训练题组 1．(多选题)已知，，是三个非零向量，则下列命题中真命题为（    ） A． B．，反向 C． D． 【答案】ABC 【详解】A. (为与的夹角)， 由及，为非零向量可得，或，且以上各步均可逆.故命题A是真命题； B.若，反向，则，的夹角为，且以上各步均可逆.故命题B是真命题； C.当时，将向量，的起点移至同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有.反过来，若，则以，为邻边的四边形为矩形，所以有.故命题C是真命题. D.当但与的夹角和与的夹角不等时，就有 ，反过来由也推不出.故命题D是假命题. 故选：ABC 2．（2022·天津市第九十五中学高一）已知，，向量在方向上投影向量是（是与方向相同的单位向量），则为（    ） A．12 B．8 C．-8 D．2 【答案】A 【详解】在方向上投影向量为， ，. 故选：A 考点二、平面向量的投影、投影向量 例2-1．（2022·湖南永州·一模）已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在方向上的投影向量为 故选：C. 例2-2．（2022·江苏·沭阳县修远中学高一期末）已知向量，在方向上的投影向量为，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为， 故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故， 故选：C 例2-3．（2022·全国·高一课时练习）已知，在上的投影的数量为，而在上的投影的数量为，求，． 【答案】30，-40. 【详解】∵在上的投影的数量为，∴，∴． ∵在上的投影的数量为，∴，∴． 例2-4．（2022·甘肃武威·高一期末）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为__________. 【答案】 【详解】由题意得：在上的投影向量的坐标为 故答案为： 训练题组 1．（2022·吉林·长春外国语学校高一习）已知，向量在向量上的投影向量是（是与方向相同的单位向量），则（    ） A．2 B．-2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由题意，且，所以，而，则. 故选：A 2．（2022·辽宁·东北育才双语学校一模）已知平面向量，满足，，，则在上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 所以 所以在上的投影向量为， 故选：B.