专题29圆锥曲线中面积问题专练C卷—2023届高考数学重难点

专题29圆锥曲线中面积问题专练C卷 1. 如图，，分别为椭圆：的左、右焦点，，为两个顶点已知顶点到，两点的距离之和为． 求椭圆的方程； 作的平行线交椭圆于，两点，求取得最大值时的面积． 2. 已知抛物线：的焦点为，点，． 求抛物线的方程； 已知过点的直线交抛物线于，两点，当到的距离最大时，求的面积． 3. 已知椭圆 的两个顶点分别为，，点为椭圆上异于的点，设直线的斜率为，直线的斜率为，． 求椭圆的离心率； 若，设直线与轴交于点，与椭圆交于两点，求的面积的最大值． 4. 已知抛物线方程为：，为直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别过，． 若直线过点，求抛物线方程； 若，中点的横坐标为，点在轴上的投影点点，的面积为，求的最小值． 5. 已知椭圆：，为其左焦点，在椭圆上． 求椭圆的方程． 若，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，且，问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 6. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，椭圆的离心率过作两条相互垂直的直线与，且交抛物线于，两点，交椭圆于另一点． 求的值 求面积的最小值． 7. 已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． 求椭圆的标准方程； 设直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求面积的取值范围． 8. 如图．已知抛物线：，直线过点与抛物线相交于，两点，抛物线在点，处的切线相交于点，过，分别作轴的平行线与直线上：交于，两点． Ⅰ证明：点在直线上，且； Ⅱ记，的面积分别为和求的最小值． 答案和解析 1.【答案】解：由已知得，根据椭圆定义可得，解得， 故椭圆的方程为． 设，，由， 可设直线：，代入，可得， ，解得， 由根与系数的关系知，，， 则． 当且仅当时，， 此时点到直线：的距离， 故． 故弦长的最大值为，此时的面积为．  2.【答案】解：因为，，， 所以． 解得，故抛物线的方程为． 由题意知，，因为直线过点， 所以当时，点到的距离最大． 因为，所以直线的斜率为， 联立方程组，消去得． 设，，则， 所以． 因为， 所以的面积为．  3.【答案】解：设为椭圆上的点，则， 整理得：， 又，，， 联立两个方程则， 解得． 由知，又， 椭圆的方程为． 设直线的方程为：，代入椭圆的方程有：， 设，，则，， 则的面积 ， 令，，则有， 代入上式有， 当且仅当，即时等号成立， 所以面积的最大值为．  4.【答案】解：设，，， 抛物线的方程为，则， 结合题意得：， 切线方程为， 整理得：， 因为点在切线上， 代入得：，即 同理： 则直线方程为：， 将点代入直线的方程得， 所以抛物线方程为． 结合得直线的方程为：， 联合直线与抛物线方程，可得 结合韦达定理得： ， 解得的方程为， 因为， 点到直线的距离为， 因为， 所以， 所以， 记，则， 令 ， 由，令，解得符合题意的， 当时，当，故当时，有最小值，为， 故的最小值为．  5.【答案】解：因为为其左焦点， 所以椭圆的右焦点为， 因为在椭圆上， 根据椭圆的定义， 得， 所以，又因为，所以， 所以椭圆的方程为； 因为，所以， 当直线的斜率不存在时，由对称性可知， 不妨设，则， 所以，此时的面积为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 由，得， 由韦达定理得，， ， 即，满足式， ， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 又因为，所以面积的最大值为．  6.【答案】解：Ⅰ， ，，， ． 所以椭圆， 设代入抛物线得：， 设，， 则， ； Ⅱ由Ⅰ可知： 当时，，， ； 当时，设， 代入椭圆得， 所以，， ， 令， 则， ， 当，，，， 当且仅当取等号． 综上可得面积的最小值为．  7.【答案】解：由题意可得，解得 椭圆的方程为； 设，， 由，得， ，，  原点到直线的距离为：， 且， 则的面积为． 令，则，， 函数在上单调递增， ，， 面积的取值范围是．  8.【答案】解：Ⅰ证明：因为不平行于轴，设直线的方程为，，， 因为，不妨令，则， 所以，所以， 所以过点的切线方程为， 整理得， 同理，过点的切线方程为， 联立两切线方程，解得， 又，得， 所以，， 代入可得，满足， 所以点在直线：上， 又，， 所以， 所以为，的中点，即． Ⅱ由Ⅰ可得，， 所以，同理， 所以 ， 当时，有最小值．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $