专题29圆锥曲线中面积问题专练B卷—2023届高考数学重难点

专题29圆锥曲线中面积问题专练B卷 1. 已知椭圆的焦距为，短轴长为． 求的方程； 直线：与相切于点，与两坐标轴的交点为与，直线经过点且与垂直，与的另一个交点为当取得最小值时，求的面积． 2. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为． 求抛物线的方程； 过焦点的直线与抛物线相交于，两点，在点，处分别作的切线，交点为． 证明：； 若直线交于，两点在线段上，求四边形面积的最小值． 3. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的下顶点，直线与的斜率之积为． 求椭圆的方程； 设点，为椭圆上位于轴下方的两点，且，求四边形面积的取值范围． 4. 已知，为椭圆：的左、右顶点，是椭圆上一点异于，，满足且斜率为的直线交椭圆于，两点，且． 求椭圆的方程及离心率； 如图，设直线：与椭圆交于，两点，求四边形面积的最大值． 5. 嫦娥四号月球探测器于年月日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射日下午点分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其方程近似为的轨迹近月点与月球球心距离为单位：百公里，该椭圆形轨道的离心率约为． 求椭圆的方程 若，为该椭圆形轨道上位于轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值． 6. 已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，直线交抛物线于另一点，的最小值为． Ⅰ求抛物线的方程； Ⅱ记、的面积分别为，，求的最小值． 7. 已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，若四边形的面积为，且恰与圆：相切． 求椭圆的方程； 已知直线与圆相切，交椭圆于点，，且点，在直线的两侧．设的面积为，的面积为，求的取值范围． 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别是和，点在椭圆上，且的周长是． 求椭圆的标准方程； 已知、、为椭圆上三点，若有，求的面积． 答案和解析 1.【答案】解：由题意可知，，即，， 所以， 所以的方程为； 的方程为，． 联立，消去， 得． 因为直线与相切， 所以． 即． 在轴，轴上的截距分别是，． 则 ． 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值，此时， 根据对称性，不妨取，， 此时． 即，从而． 联立 消去，得， 则，解得． 所以． 故的面积为．  2.【答案】解：抛物线的焦点为，准线方程为， 所以焦点到其准线的距离为， 因为，解得， 所以抛物线的方程为． 证明：由题意知直线的斜率一定存在，设其方程为， 代入抛物线的方程，整理得， 设点、、， 则，， 函数的导数为， 抛物线在点处的切线方程为， 代入，化简得， 抛物线在点处的切线方程为 代入，化简得， 由得， 化简得，又，所以， 由得， 即， 代入，，，化简得， 所以点的坐标为， 又点的坐标为，所以， 因为，，所以， 所以， 所以，故AB． 解：显然，由知， 所以， 因为，所以直线的斜率为， 将替换上式中的，可得， 所以， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以， 故当时，四边形面积的最小值为．  3.【答案】解：由题知：，， ， ，点为椭圆的下顶点，， 椭圆． 如图，延长交椭圆于点，连接，， ， 设直线． 由，得， ，， ． 令，设， 则在上单调递增， 即， 根据对称性得：，且， ， 四边形面积的取值范围为．  4.【答案】解：设点，点，的坐标分别为，， 因为， 所以， 因为点在椭圆上，所以，即，代入上式得， 又，则，即， 所以椭圆的方程为， 所以． 因为，所以四边形的面积为， 由题意可得，则， 即当取到最大值时，取到最大值， 联立直线与椭圆的方程，可得， 由，可得， 设点，的坐标分别为，， 则，， 所以， 所以当时，取到最大值，最大值为， 故的最大值为．  5.【答案】解：由题意可得 所以椭圆的标准方程为． ， ，延长交椭圆于点，则， 由知，， 设，，直线的方程为， 联立方程组，消去并整理得， ，， 设与的距离为，则四边形面积为， ， 令，则， ， 函数在上单调递减， 当时，．  6.【答案】解Ⅰ由已知及抛物线的几何性质可得，， 抛物线的方程为． Ⅱ设直线：，：， ，，， 由 同理可得，从而， 点到的距离， ， ． 又， ． 当且仅当，即时有最小值．  7.【答案】解：根据题意，四边形的面积为，且恰与圆：相切， 所以圆的半径为， 原点到直线的距离为， 可得： 解得，． 椭圆的标准方程为； 由题意，直线的斜率不为， 可设直线：，， 因为直线与圆相切， 所以，即， ． 设，， 则，， ， 将直线的方程与椭圆方程联立 得， 由已知，， 由韦达定理知：，， ， ， 当时，； 当时， ， 当且仅当时取等号，显然不满足取等条件， 所以； 综上，的取值范围是．  8.【答案】解：因为的周长是，且， 所以，所以，解得， 又，所以， 故椭圆的方程为； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设，，， 联立，可得， 则，又，所