第03课 向量法求空间角-2022-2023学年高二数学课后培优分级练（苏教版2019选择性必修第二册）

第03讲 向量法求空间角 一、核心体系 二、必备知识 知识点一：异面直线所成角 设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法： ① ② 知识点二：直线和平面所成角 设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为， 则 ①； ②. 知识点三：平面与平面所成角（二面角） （1）如图①，，是二面角的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小． （2）如图②③，，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足： ①； ② 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； （特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.） 三、高频考点+重点题型 考点一：异面直线所成的角 例1-1．（2022·全国·高二）已知和是异面直线，，，则和所成角的大小为______． 例1-2．（2022·辽宁·沈阳市第八十三中学高二）正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 例1-3．已知正方体棱长为2，为空间中一点．若（），则异面直线和所成角的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 例1-4．如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 训练题组 1．已知在正方体中，点为线段的中点，点F在正方体棱上移动，则下列结论成立是（    ） A．当是线段中点时，与所成角为60° B．直线与可能垂直 C．直线与可能平行 D．异面直线与所成最小角的余弦值是 2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高二）如图，在直三棱柱中，，，，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，P为线段上一点，则直线与BP所成的角的最大值、最小值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点． (1)证明：； (2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？ 若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由． 5．在直三棱柱中，分別是的中点，，则与所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 考点二：直线与平面所成的角 例2-1．（2022·北京八十中高三开学考试）如图，在三棱柱中，平面， ，，若为线段上的中点，求直线与平面所成角大小. 例2-2．（2022·湖南·高二）如图，已知单位正方体，，分别是棱和的中点，试求与平面所成角的正弦值． 例2-3．（2022·全国·高三）已知、、分别是正方形边、及对角线的中点，将三角形沿着进行翻折构成三棱锥，则在翻折过程中，直线与平面所成角的余弦值的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2-4．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）如图，在三棱锥中，，，E，F，O分别为棱，，的中点，记直线与平面所成角为，则的取值范围是______. 例2-5．（2022·湖南·高二课时练习）如图，已知四边形，,均为正方形，且边长为1，在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出点的位置；若不存在，试说明理由． 训练题组一（成角值） 1．（2022·广东实验中学附属江门学校高二开学考试）在三棱锥中，平面，D，E，F分别是棱的中点，，则直线与平面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（2022·山西·浑源县第七中学校高二阶段练习）如图所示，在直三棱柱中，，点是的中点，，. (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求直线与平面所成的角. 3．（2022·河南·北大公学禹州国际学校高二开学考试）如图，在正方体中，棱长为2，M、N分别为、AC的中点． (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的大小． 4．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点. (1)求证：PA//平面BMD； (2)当PA＝时，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值. 训练题组二(最值问题） 1.（2021·福建·泉州五中高二期中）直三棱柱中，，，点为线段的中点，若点在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高三）在如图的正方体中，，点是侧面内的动点，满足，设与平面所成角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）正四棱柱中，，，点为侧面上一动点（不含边界），且满足.