专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练C卷—2023届高考数学重难点

专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练C卷 1. 在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记点的轨迹为曲线． 求的方程，并说明是什么曲线； 若，是曲线上的动点，且直线过点，问在轴上是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 已知为圆：上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点． 求点的轨迹方程； 设点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为，，过点作直线的垂线，垂足为点，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 3. 已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上． 求的方程； 设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，求证：过定点． 4. 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点． 求双曲线的标准方程 已知，，是双曲线上不同于的两点，且，于，证明：存在定点，使为定值． 5. 已知双曲线，离心率为，，为其左右焦点，为其上任一点，且满足，． 求双曲线的方程 已知，是双曲线上关于轴对称的两点，点是上异于，的任意一点，直线、分别交轴于点、，试问：是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，请求出定值其中是坐标原点． 6. 如图，椭圆的离心率为，直线：与椭圆只有一个公共点    求椭圆的方程． 不经过原点的直线与平行且与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，条件离心率为点在上运动，且点在上从任选两个条件作为已知，解决下列问题： 求椭圆的方程 已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，直线、的斜率分别记为、，试探讨是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由． 8. 椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，点为椭圆上位于轴上方的一点，满足，且的面积为． 求椭圆的方程； 设椭圆的左右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知过点作直线的垂线，垂足为，问：在平面内是否存在定点使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由． 答案和解析 1.【答案】解：设，则，， 整理可得，， 故C的方程，，说明为不包含的椭圆； 假设存在满足题意的定点，设， 设直线的方程为，， 由消去，得． 由直线过椭圆内一点作直线，故， 由求根公式得：，， 由得，得直线与斜率和为零． 故 ，所以， 存在定点，当斜率不存在时定点也符合题意．  2.【答案】解：由题意可知圆：的圆心为，半径为， 因为线段的垂直平分线交线段于点， 所以，所以， 又因为，所以轨迹是以，为焦点的椭圆， 设，则，，， 所以点的轨迹方程为． 若两条直线斜率均存在， 设过点的弦所在直线的方程为， 代入椭圆方程联立得：， 设与椭圆两交点的坐标分别为， 所以，所以， 则； 同理，； 由对称性可知所过定点必在轴上，设为， 显然，所以， 化简得，即； (ⅱ)若其中一条直线斜率不存在，则直线为轴；综上直线必过定点； 取点与点的中点为，则，因为，所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆上运动， 所以存在定点，使得为定值．  3.【答案】解：由于点，关于轴对称，由题设知必过，又由知，椭圆不经过点， 所以点在椭圆上． 因此解得 故椭圆的方程为． 证明：设直线与直线的斜率分别为，． 如果直线的斜率不存在，垂直于轴， 设：，，， 则，得， 此时过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． 从而可设：． 将代入，得． 由题设可知． 设，， 则，， ． 由题设，故． ． 解得舍去，此时， 解得，此时，直线的方程为，即． 过定点． 4.【答案】解：因为双曲线与已知双曲线有相同的渐近线， 设双曲线的标准方程为， 代入点坐标，解得， 所以双曲线的标准方程为． 当直线斜率存在时，设， 设，联立与双曲线， 化简得， ，即，则有 又， 因为， 所以， 所以， 化简，得，即，所以，， 且均满足， 当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾， 当时，直线的方程为，过定点， 当直线斜率不存在时，由对称性不妨设直线，与双曲线方程联立解得，此时也过点 综上，直线过定点． 由于，所以点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，所以存在定点，使为定值．  5.【答案】解：设，不妨设． 则． 而． ． 又且． ，，． 双曲线的方程：． 是定值，定值为． 设直线的方程为，，， 代入，得， 因为渐近线方程为，与渐近线不平行， 设点，，则， 由韦达定理可得：，， 由，，三点共线得， ． ，即为定值．  6.【答案】解：由，得， 由，得， 所以椭圆的方程为，即， 与：联立得， 令，得， 所以椭圆的方程为 由得，所以，所以， 故可设：，，， 联立 整理得， ，得， 则，， 所以 ， 所以为定值．  7.【答案】解：选择， 因为， 联立方程组 所以椭圆的方程为：． 选择， 因为， 联立方程组