专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练B卷—2023届高考数学重难点

专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练B卷 1. 设椭圆的左、右顶点分别为，，上顶点为，点是椭圆上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率，短轴长为． 求椭圆的方程 若直线与直线交于点，直线与轴交于点，求证：直线恒过某定点，并求出该定点． 2. 已知椭圆的右焦点为，直线与交于，两点，且，两点的横坐标之积为． 求的离心率． 设直线与相切于点，与直线相交与点，试问与满足的关系是还是 为定值请说明理由． 3. 已知椭圆的离心率为，短轴长为． 求的方程 过点且斜率不为的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 4. 已知点在抛物线上． 求抛物线的方程 过点作斜率分别为、的两条直线、，若、与抛物线的另一个交点分别为，，且有，探究：直线是否恒过定点若是，求出该定点若否，说明理由． 5. 已知双曲线的左，右焦点分别为，，左，右顶点分别为，，点在双曲线上，且． 求双曲线的方程 过点作斜率为，的两条直线，分别与双曲线交于异于点的两点，，若，证明直线过定点． 6. 已知两点，，动点在轴上的投影为，且，记动点的轨迹为曲线． 求的方程； 过点的直线与曲线在轴右侧相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 7. 已知抛物线：的焦点为，过点的动直线与抛物线相交于，两点．当经过点时，点恰好为线段中点． 求的值； 是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及该常数；若不存在，说明理由． 8. 已知椭圆的离心率，且椭圆经过点 求椭圆的方程． 不过点的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值若是，求出该定值若不是，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】解：由已知可得，解得， 故椭圆的方程为 设直线的方程为， 直线的方程为且， 则直线与轴的交点为， 直线的方程为，则直线与直线的交点为， 将代入方程，得， 则点的横坐标为，点的纵坐标为， 将点的坐标代入直线的方程， 整理得， ，， 由，点坐标可得直线的方程为： ， 即， 则直线过定点．  2.【答案】解：将代入，得， 因为与交于，两点，所以，则． 由韦达定理，得，解得， 则的离心率为 ，不是定值． 理由如下： 由可知，，， 因为，所以依题意可知直线的斜率一定存在． 设 由得， 因为与相切于点，所以，则， ，， 所以 因为与交于点，所以， 所以，，， 所以 当，时．，， 当，时，，， 所以不是定值．   3.【答案】解：设椭圆的半焦距为， 由题意，，，， 解得，， 所以的方程为． 设直线的方程为，，，， 由得， 所以，，且，即． 所以，，即 又，所以． 解得，， 从而． 所以．  4.【答案】解：将代入抛物线得：， 化简得，解得或舍， 即抛物线的方程的方程为； 由得：，设，， 则， 同理，， 当直线斜率为时，直线的方程为与抛物线只有一个公共点，不合题意，舍去； 当直线斜率为不为时，设直线的方程为：， 把代入，整理得：，即， 得：，代入式，得：， 所以直线的方程为：， 综上可知直线恒过定点．  5.【答案】解：设，， 因为，， 所以，， 因为，所以，即， 又点在双曲线上，所以， 由消去，得，所以，， 所以双曲线的方程为； 因为直线的斜率存在，可设直线的方程为，，， 由消去，整理得， 所以，， 由，且，， 得， 所以， 整理得，即或， 当时，直线过点，舍去，所以， 所以的方程为，即直线过定点．  6.【答案】解：设，则，，，， 因为，所以， 故C的方程为． 由题可知直线的斜率一定存在，且不为， 不妨设直线的方程为，， 联立方程组消去整理得， 则整理得． ，， 则线段的垂直平分线的方程为， 令，得，则， ， 则． 故是定值，该定值为．  7.【答案】解：抛物线的焦点． 因为，且为中点，所以． 因为在抛物线上，所以，解得． 由题意知直线的斜率存在． 设直线的方程为，，， 则，． 由消去得，， 则，． 假设存在定点，则，， 所以 ． 要使得为常数， 则解得，， 所以存在定点，此时．  8.【答案】解：因为，所以，所以． 因为椭圆过，所以， 所以，，故椭圆的标准方程为． 因为直线不过，且直线，的斜率存在，所以且． 设，，联立方程组得， 则，． 由，得且． 因为 所以， 即为定值，且．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $