专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练A卷—2023届高考数学重难点

专题28圆锥曲线中定点、定值问题专练A卷 一、单选题 1. 有如下个命题； 双曲线上任意一点到两条渐近线的距离乘积是定值 双曲线与的离心率分别是，，则是定值 过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，，则直线过定点 其中正确的命题有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 下列关于圆锥曲线的命题正确的个数为(    ) 双曲线与椭圆有相同的焦点； 设定点、，若动点满足条件，则动点的轨迹是椭圆； 设，为两个定点，若动点满足条件，则动点的轨迹为双曲线； 设，为两个定点，为动点，若，且，则的最大值为； 平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹为抛物线． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知动点，到直线的距离的平方比到坐标原点的距离的平方大，若动点满足，且存在定点，使得为定值，则 A. B. C. D. 4. 已知椭圆：，为椭圆的右顶点，直线交于、两点，且，则恒过除点以外的定点(    ) A. B. C. D. 5. 已知双曲线和椭圆的右焦点分别为，，分别为上第一象限内不同于的点，若，，则四条直线的斜率之和为(    ) A. B. C. D. 不确定值 二、多选题 6. 圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”如图是抛物线的阿基米德三角形，弦经过焦点，又，均垂直于准线，且，为垂足，则下列说法正确的有(    ) A. 以为直径的圆必与准线相切于点 B. 为定值 C. 为定值 D. 有最小值 7. 已知椭圆的右顶点为，过右焦点的直线交椭圆于两点，设，，，的斜率分别记为，，以下各式为定值的是(    ) A. B. C. D. 三、填空题 8. 椭圆：的左顶点为，点，是椭圆上的两个动点，若直线与的斜率乘积为定值，则动直线恒过定点的坐标为          ． 9. 已知为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则          ；若垂直于点，且为定值，则点的坐标为          ． 四、解答题 10. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为，圆心的轨迹为曲线． 求的方程； 已知点，，是上的一个动点，设直线，与的另一交点分别为，，若直线、、都不垂直与轴，求证：当点在上运动时，直线恒过一个定点，并求出这个定点的坐标． 11. 已知椭圆的左焦点为，离心率为，点是椭圆上一点． 求椭圆的标准方程； 若，为椭圆上不同于的两点，且直线，关于直线对称，求证：直线的斜率为定值． 12. 已知双曲线的虚轴长为，直线为双曲线的一条渐近线．   求双曲线的标准方程   记双曲线的左右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，点在第一象限，记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值． 答案和解析 1.【答案】  解：双曲线上任意一点，设为， 两条渐近线方程为，可得两个距离的乘积为， 由，可得两个距离乘积是定值； 双曲线与的离心率分别是，， 即有，，可得为定值； 过抛物线的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是，， 可设，，由可得，即有， ，可得直线的方程为，即为， 则直线过定点． 三个命题都正确． 故选：． 2.【答案】  解：对于，双曲线的焦点为，椭圆的焦点为，故正确； 对于，动点满足条件，，当且仅当时等号成立，根据椭圆的定义可知，则动点的轨迹不是椭圆，故错误； 对于，根据双曲线的定义可知，设，为两个定点，若动点满足条件，则动点的轨迹是双曲线，故题中叙述错误； 对于，正确．，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中，，则的最大值为，故正确． 对于，根据抛物线的定义可知，平面内与一个定点不在直线上和一条定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，故错误． 故选A．    3.【答案】  解：由题意可知，，解得， 因此点的轨迹是抛物线，该抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为， 所以． 因为，即． 因为存在定点，使得为定值， 所以有，此时点为抛物线的焦点， 所以． 故选：．    4.【答案】  解：当直线的斜率存在时，设直线：，与的方程联立， 得， 此时， 设，， 则，； 由，， 得 ， 代入，得 或，代入式经检验满足， 所以或， 即恒过或， 当直线的斜率不存在时，即时，，， 则，满足， 此时直线也过定点． 综上所述，恒过除点以外的定点． 故选A．    5.【答案】  解：设为原点，则，． 而，得， 于是、、三点共线，因为， 所以，且， 得，  设、，点在双曲线的上，有， 则． 设直线的斜率分别是，， 所以  又由点在椭圆上，有同理可得  、、三点共线，由、得．    6.【答案】  解：先证明出抛物线在其上一点 处的切线方程为． 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点 处