河南省安阳市林州市林虑中学2022-2023学年高三上学期1月调研（期末）理科数学试卷

林虑高三 1月调研考试 理科数学试卷 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的． 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13．已知 a，b为单位向量，且<a，b>＝ 3 π ，则｜3a－2b｜＝__________． 14．己知 a为常数，n∈N*，（3x＋ a x ）n的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为 32，则展开式中 x的 系数为__________（用数字作答）． 15．己知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，E，F分别为棱 AB，B1C1的中点，则三棱锥 A1—DEF的体积 为__________． 16．过抛物线 C：y2＝4x的焦点的直线与 C交于 A，B两点．设 D为线段 AB的中点，a＞0，点 P（a，1），若 直线 DP∥x轴，且∠APB＝ 2 π ，则 a＝__________． 三、解答题（本大题共 5小题，共 60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分 12分） 已知数列{ na }的前n项和为 nS ， 1a ＝1， 1nnS ＋ － ( )1 nn S＋ ＝ ( )1 2 n n＋ ，（n N ∗∈ ）． （1）求 nS ； （2）设 nT 是数列{ 1 nS }的前n项和，求 nT ． 18．（本题满分 12分） 如图，在四棱锥 P—ABCD中，ABCD为正方形，平面 PAD⊥平面 ABCD，△PAD是直 角三角形，且 PA＝AD＝4，E，F，G分别是线段 PA，PD，CD的中点． （1）证明：PB∥平面 EFG； （2）求三棱锥 B—EFG的体积． 19．（本小题满分 12分） 随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具，以其轻巧便携、工作效率高、 环保、可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用．在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下， 锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大．某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人 员，使得整体研发创新能力持续提升，现对 2017～2021年的研发人数作了相关统计，如下图： （1）根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数 y与年份代码 x的相关系数 r，并由此判断其相关性的 强弱； （2）试求出 y关于 x的线性回归方程，并预测 2023年该公司的研发人数．（结果取整数） 四、选考题（10分） 请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的参数方程为 1 2cos 2sin x y α α    ＝－－ ， ＝ （α 为参数）．以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆 C2的极坐标方程为 ( )2 3 2cos2 5ρ θ－ ＝ . （1）求 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； （2）设 P是 C1上的点，F1，F2是 C2的两个焦点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10分） 设 a，b，c为正数，且 b c a ＋ ≤ c a b ＋ ≤ a b c ＋ ，证明： （1）a≥b≥c： （2）（a＋b）（2b＋c）（c＋3a）≥24abc．