圆锥曲线范围、最值问题大题专练B卷—2023届高考数学重难点二轮专题训练

圆锥曲线范围、最值问题大题专练B卷 1. 已知椭圆：的离心率为，点、为椭圆上两个动点，点，当点，分别为椭圆的左、右顶点时，． 求椭圆的方程； 若线段的垂直平分线的方程为，且，求实数的取值范围． 2. 已知，是离心率为的椭圆：的左、右焦点，点在轴上，，点是平面内一点，线段的中点在椭圆上，． 求椭圆的标准方程； 过点作直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，求的取值范围． 3. 已知椭圆：的左焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，当直线轴时，，． 求椭圆的方程； 设直线，直线与直线、轴、轴分别交于点、、，当点为线段中点时，求的取值范围． 4. 已知直线与抛物线交于、两点，是坐标原点，． 求线段中点的轨迹的方程； 设直线与曲线交于、两点，，求的取值范围． 5. 在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过垂直于轴的直线与相交于、两点，的面积为． Ⅰ求抛物线的方程； Ⅱ设斜率为的直线与相交于、，线段的中垂线交于、，求的取值范围． 6. 已知，是椭圆：的左，右焦点，离心率为，、是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为 求椭圆的方程； 若与圆相切的直线与椭圆交于、，求其中为坐标原点的取值范围． 7. 已知椭圆：的离心率是，原点到直线的距离等于，又知点． Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ若椭圆上总存在两个点、关于直线对称，且，求实数的取值范围． 8. 已知点在抛物线上，过点作圆的两条切线，与抛物线分别交于、两点，切线、与圆分别相切于点、． 若点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等，求点的坐标； 若点的坐标为，且时，求的值； 若点的坐标为，设线段中点的纵坐标为，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】解：由题意得，点、，  又点，则，即， 而，解得，  故椭圆的方程为； 由题意知线段的垂直平分线的方程为， 设直线的方程为， 联立  整理得， 由，得， 设，，则，， 设的中点为，则，， 由点在直线上，得，即， 代入，  得，所以 因为，， 所以 ． 由，得，解得， 所以，  即 又由得， 故实数的取值范围为．   2.【答案】解：设线段的中点为，连接， ，是线段的中点， 由三角形中位线定理知，，， 由椭圆的定义知，，， 由题知，，，， 椭圆的标准方程为． 设，， 当直线的斜率为时，，，， 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，代入整理得， ， ，， ， ，， ， ， ， 综上所述，的取值范围为．   3.【答案】解：由题意得，直线轴时，， ， 解得或， ， ， 解得，， 故椭圆的方程为． 设， 依题意直线斜率一定存在且不为零，设， 代入椭圆方程得：， 则， 故， 直线， 令，则， ， ， ， ， ， ．  4.【答案】解：设，， ， ，即， ，． 设直线，代入，得，， ，解得， ，直线过定点， 设线段的中点坐标为， 由得 ，即， 当时，中点满足上述方程， 故轨迹的方程为． 由或， 与曲线交于，两点，， 当时，；当时，． 设，． ， 由可得，． 得，． 则， ， 由交曲线于，两点知， ，， 所以的取值范围为．  5.【答案】解：Ⅰ直线 的方程为，将该直线方程代入抛物线，的方程得， ，，所以， ，解得． 因此，抛物线的方程为 Ⅱ设直线的方程为，点、、、 联立直线与抛物线的方程 得，， 所以，由韦达定理得，． 所以． 因为线段的中点横坐标为，代入，解得中点坐标为， 又因为两直线垂直，斜率乘积为，则直线斜率为， 所以直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，， 所以， 所以， 故所求的的取值范围是．  6.【答案】解：设，， ，是线段的中点， 又线段的中点在椭圆上，周长为． ，，可得． 由椭圆的离心率，，解得，，． 椭圆的方程为：． 如图所示， 当轴时， 把代入椭圆方程可得：， 解得：． 可得：． 当的斜率存在时，设切线的方程为：． 则，化为：． 设， 把代入椭圆方程可得：，． ，， ， 综上可得：．  7.【答案】解：Ⅰ由题意可得：，，且， 解得：，， 所以椭圆的方程为：； Ⅱ由题意设直线的方程为：，联立， 整理可得：， 由可得， 设，， 则，， 又设的中点，则，， 由于点在直线上， 所以，可得，由，可得， 解得， 因为，， 所以 ， 由，得，解得， 所以，即， 由可得， 所以实数的取值范围为  8.【答案】解：由圆的方程知圆心， 由抛物线方程知，准线方程为， 设， 由点到圆心的距离与它到抛物线的准线的距离相等， 得， 又点在抛物线上， 所以， 将代入，得， 解得，所以， 所以点坐标为或 设，， 则， ， 又，所以， 所以， 所以，，，， 所以 ． 的值为； 由题意知，过点引圆的切线斜率存在， 设切线的方程为， 则圆心到切线的距离， 整理得， 设切线的方程为， 同理可得， 所以，是方程的两个根， 所以，， 设，，中点为， 联立得，整理得， 所以，