精品解析：上海市高桥中学2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题

上海市高桥中学2021-2022年高二上12月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，，则与的位置关系是______. 2. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________． 3. 如图所示，是直观图，则的面积_________（请用数字填写） 4. 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是____________ ． 5. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的表面积为___________. 6. 若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为___________. ①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行直线； ②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直； ③若mα，则在β内不一定存在与m垂直的直线； ④若mα，则在β内一定存在与m垂直的直线. 7. 如图所示，是所在平面外一点，平面平面，分别交线段，，于，，，若，则_____.  8. 如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为________． 9. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为_____. 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为________． 11. 如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，于E，现将沿DE折起使二面角A-DE-B为，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则此时M，N的连线与AE所成的角的大小为______. 12. 如图，在正方体中，，是棱上任一点，若平面和平面所成的角为，则的最小值为________． 二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分） 13. 已知直线a，如果直线b同时满足：（1）与a异面；（2）与a所成的角是；（3）与a的距离为2021，这样的直线b有（ ）条． A. 2 B. 3 C. 4 D. 无数条 14. 已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于 A. B. C. D. 15. 体积为的圆台，一个底面积是另一个底面积的倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　) A B. C. D. 16. 设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（ ） A. B. C. D. 不能确定 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17. 在长方体中，已知，，，E、F分别是线段AB、BC上点，且. （1）求二面角的正切值； （2）求直线与所成角的余弦值. 18. 已知过球面上A，B，C三点截面和球心的距离为球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积． 19. 已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积. 20. 如图，某柱体实心铜质零件的截面边界是长度为55毫米线段和88毫米的线段以及圆心为，半径为的一段圆弧构成，其中． （1）求半径的长度； （2）现知该零件的厚度为3毫米，试求该零件的重量（每1个立方厘米铜重8.9克，按四舍五入精确到0.1克）．（） 21. 如图，已知、分别是正方形边、的中点，与交于点，、都垂直于平面，且，，是线段上一动点. （1）求证：平面； （2）若平面，试求的值； （3）当是中点时，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市高桥中学2021-2022年高二上12月月考 数学试卷 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知，，，则与的位置关系是______. 【答案】异面 【解析】 【分析】画出符合要求的图形，推出两者的位置关系. 【详解】如图所示，因为，，故与不相交，又与不平行， 故与的位置关系是异面. 故答案为：异面 2. 已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的全面积等于_________． 【答案】10 【解析】 【分析】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解. 【详解】由题意，正四棱柱如下图： 不妨设正四棱柱底面边长为，， 由已知条件可得，， 又因为底面，所以对角线与底面所成角为， 因为对角线与底面所成角