高中数学函数基础 讲义-2023届高三数学一轮复习专题

函数基础 一、定义域的五种考法 1.分式型：分母不为零 定义域{x|x≠1} 2.二次根式型：根式里大于等于零 定义域{x|x≥-1} 3.对数函数：真数大于零 log₂(x-1)定义域{x|x>1} 注意：高考常见，求函数的单调区间，一定要先求定义域. 4.正切函数型 f(x)=tan(x-1)定义域 5.抽象函数 f(2x+1)定义域为[-1,1],求f(x-1)的定义域. ∵-1≤x≤1-1≤2x+1≤3 -1≤x-1≤30≤x≤4 ∴f(x-1)的定义域为[0,4] 二、求值域的八种方法 1.换元法 若在同一个函数中出现x⁴与x²、x⁶与x³、x与与等，即两部分在次数上含平方关系，设低次数项为t，高次数项用t²的形式表达出来，则转化为关于t的二次函数类型，注意新元t的取值范围. 求值域. 令则1-x=t²,x=1-t²,且t≥0, 于是 函数值域为 2.配方法 若函数是二次函数形式，即可化为.y=ax²+bx+c(a≠0)型函数，可通过配方后结合二次函数性质求值域，但要注意二次函数在给定区间上最值的求法.如求函数的值域，因为故值域为[2,+∞). 3.反表示法 如求函数的值域，由解出x而x≥-1,所以即所以-2≤y<1,故函数值域为[-2,1). 4.分离常数法 形如的函数求值域，可用分离常数法. 值域(-∞,-2)U(-2,+∞) 小技巧：分母不管是什么，先写一个与分母一样的式子，然后再配. 5.判别式法 求形如 且x∈R)的函数值域. 求函数的值域. ∵x²+x+1>0恒成立 可变形为.yx²+yx+y=2x²+2x+3, 即(y-2)x²+(y-2)x+y-3=0,x∈R 当y≠2时,由△=(y-2)²-4(y-2)(y-3)≥0,得(y-2).(10-3y)≥0, 解得 此时必须讨论二次项系数y-2是否为0. 又当y=2时，代入方程(y-2)x²+(y-2)x+y-3=0,x无解. 综上所述，函数值域为 6.三角换元法 求函数的值域. 可以设x=cosθ,θ∈[0,π],注意取值范围. 设根据θ∈[0,π] 函数值域 7.中间变量法 如求函数的值域，由得而x²≥0,所以所以y>1或y≤-4,故所求函数的值域为(-∞,-4]U(1,+∞). 8.均值不等式法” 求函数的值域. 方法一:当x=0时,y=0;当x≠0时, 因为所以 又x>0时,x²+x+1>0,3x>0,∴y>0 综上,值域为[0,1] 方法二：判别式法 因为x²+x+1>0恒成立. yx²+yx+y=3x yx²+(y-3)x+y=0 y=0时,x=0 y≠0时,令Δ≥0 (y-3)²-4y²≥0. y²+2y-3≤0 -3≤y≤1 又∵定义域x≥0,故y≥0 综上所述，值域为[0，1] 三、函数求解析式 1.配凑法 已知求f(x). 解: f(x)=x³-3x(x≥2或x≤-2) 2.换元法 已知求f(x) 解：令则 3.待定系数法 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x). 解:设f(x)=ax+b(a≠0),则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+b+5a=2x+17 ∴a=2b=7∴f(x)=2x+7 4.消元方程组 已知f(x)满足求f(x) 解:① 令换一下 ② ①②联立解方程；消去 2×①-②得 5.反设法 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,则当x<0时,f(x)的表达式为() A.f(x)=-x+1B.f(x)=-x-1C.f(x)=x+1.D.f(x)=x-1 解:设t=-x,x=-t(t<0) 则f(-t)=t+1又f(-t)=-f(t)f(t)=-t-1f(x)=-x-1(x<0) 试数法 点(2,-1)在f(x)=-x+1上,f(x)为奇函数,点(-2,1)在x<0的解析式上,代入A、B、C、D中，只有B符合. 图像法 根据奇函数的图像性质，关于原点对称.故选B. 四、函数单调性 1.导数法 若函数f(x)在(a,b)内可导,·当.时，该函数在区间(a，b)内单调递增.当时，函数在(a，b)内单调递减. 2.复合函数同增异减法 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增 减 增 减 增 减 减 增 3.常见的几个结论 (1)当k>0时,y=k·f(x)与y=f(x)函数单调性相同. 当k<0时,y=k·f(x)与y=f(x)函数单调性相反. (2)若f(x)≥0,则函数y=f(x)与函数的单调性相同. (3)当f(x)的值恒为正或恒为负时，函数和函数f(x)的单调性相反. (4)若f(x)>0,g(x)>0,公共区间上都是增(减)函数,则y=f(x)g(x)在此区间上是