随机变量及其分布题型归类及解题策略 讲义-2023届高三数学一轮复习

随机变量及其分布列的 题型归类及解题策略 1、 高考定位: 1.概率模型多考查独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”,多在解答题的前三题的位置呈现,常考查独立事件的概率,超几何分布和二项分布的期望等. 2.计数原理、古典概型、几何概型的考查多以选择或填空的形式命题,中低档难度; 二、基础知识 1.概率模型公式及相关结论 (1)古典概型的概率公式. P(A)==. (2)几何概型的概率公式. P(A)=. (3)条件概率. 在A发生的条件下B发生的概率:P(B|A)=. (4)相互独立事件同时发生的概率:若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B). (5)若事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),P()=1-P(A). 互斥事件与相互独立事件的相同点与不同点 ①相同点:二者都是描述两个事件间的关系; ②不同点:互斥事件强调两事件不可能同时发生,即P(AB)=0,相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 2.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验:在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. (2)二项分布:如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn(k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n。用X表示事件A在n次独立重复试验中发生的次数,则X服从二项分布, 即X~B(n,p)且P(X=k)=Cpk(1-p)n-k. 3.超几何分布 在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品, 则P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,此时称随机变量X服从超几何分布. 超几何分布的模型是不放回抽样,超几何分布中的参数是M,N,n. 4.离散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量ξ的分布列为 ξ x1 x2 x3 … xi … n P p1 p2 p3 … pi … pn 离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质: ①pi≥0; ②p1+p2+…+pi+…+pn=1(i=1,2,3,…,n). (2)E(ξ)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量ξ的数学期望或均值. D(ξ)=(x1-E(ξ))2·p1+(x2-E(ξ))2·p2+…+(xi-E(ξ))2·pi+…+(xn-E(ξ))2·pn 叫做随机变量ξ的方差. (3)数学期望、方差的性质. ①E(aξ+b)=aE(ξ)+b,D(aξ+b)=a2D(ξ). ②X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p). ③X服从两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p). 三、小题热身 1.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 白球没有减少的情况有: ①取出黑球,放入任意球,概率是; ②取出白球,放入白球,概率是×=, 故所求事件的概率为+=. 2.住在狗熊岭的7只动物,它们分别是熊大,熊二,吉吉,毛毛,蹦蹦,萝卜头,图图。为了更好的保护森林,它们要选出2只动物作为组长,则熊大,熊二至少一只被选为组长的概率为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长, 基本事件总数n=C=21, 熊大,熊二至少一只被选为组长的对立事件是熊大,熊二都没有被选为组长, ∵熊大,熊二都没有被选为组长的情况有C=10(种), ∴熊大,熊二至少一只被选为组长的概率P=1-=. 3.在区间[-π,π]内随机取两个数分别记为a,b,则使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点的概率为( ) A. B. C. D. 答案 B 解析 ∵a,b使得函数f(x)=x2+2ax-b2+π有零点, ∴Δ≥0,a2+b2≥π. 试验发生时包含的所有事件是Ω={(a,b)|-π≤a≤π,-π≤b≤π}, ∴S=(2π)2=4π2, 而满足条件的事件是{(a,b)|a2+b2≥π}, ∴S1=4π2-π2=3π2, 由几何概型公式得P=. 4.(2017·江苏)记函数f(x)=的定义域为D。在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是_. 答案 解析 设事件“在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D”为事件A, 由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3, ∴D=[-2,3]. 如图,区间[-4,5]的长度为9,定义域D的长度为5, ∴P(A)=. 5.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生