2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算 一、综合题 1.如图,中,,点为上一点,以为直径的交于点,连接,平分. (1)求证:是的切线; (2)连接,若,,求的半径. 2.已知在△ABC中,∠B=90o,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E. (1)求证:AC·AD=AB·AE; (2)如果BD是⊙O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长. 3.如图,在⊙O中,点P为直径BA延长线上一点,直线PD切⊙O于点D,过点B作BH⊥PD,垂足为H,BH交⊙O于点C,连接BD. (1)求证:BD平分∠ABH; (2)如果AB=10,BC=6,求BD的长; (3)在(2)的条件下,当E是弧AB中点,DE交AB于点F,求DE•DF的值. 4.如图,已知⊙O的半径为5,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=8.过点B作⊙O的切线BD,过点A作AD⊥BD,垂足为D。 (1)求证:∠BAD+∠C=90°; (2)求线段AD的长。 5.如图,O是线段上一点,以O为圆心,长为半径的交于点A,点C在上,连接,满足. (1)求证:. (2)若,求的值 6.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,以BD为直径的⊙O交AB于点E,交AD的延长线于点F,连结EF,BF. (1) 求证:EF=BF. (2) 若CD:BD=1:3,AC=2 ,求EF的长. 7.如图, 中, ,且 ,以 为直径作 ,点D为 上一点,且 .连接 并延长交 的延长线于点E. (1)判断直线 与 的位置关系,并说明理由; (2)求 的面积. 8.如图,⊙O是△ABC的外接圆,BC是⊙O的直径,D是劣弧的中点BD交AC于点E. (1)若,求. (2)求证:AD2=DE•DB. (3)若BC=5,CD=,求DE的长. 9.如图,E为圆O上的一点,C为劣弧EB的中点.CD切 于点C,交 的直径AB的延长线于点D.延长线段AE和线段BC,使之交于点F. (1)求证: 和 都是等腰三角形; (2)若 , ,求EF的长. 10.如图,AB是⊙O的直径,点D,E在⊙O上,∠A=2∠BDE,点C在AB的延长线上,∠C=∠ABD. (1)求证:CE是⊙O的切线; (2)若⊙O的半径长为5,BF=2,求EF的长. 11.如图,AD是⊙O的切线,切点为A,AB是⊙O的弦,过点B作BC∥AD,交⊙O于点C,连接AC,过点C作CD∥AB,交AD于点D,连接AO并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且∠BCP=∠ACD. (1)求证:∠BAP=∠CAP; (2)判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由; (3)若AB=5 ,BC=10,求PC的长. 12.如图,AB是半圆的直径,O为圆心,点C是弧BE的中点,过点C作PC⊥AE于点D,交AB的延长线于点P (1)求证:直线PC是⊙O的切线; (2)若∠P=30°,AD=3,求阴影部分的面积. 13.如图,△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,弦AF交BC于点E,∠CAF=2∠B. (1)求证:AE=AC; (2)若⊙O的半径为4,E是OB的中点,求EF的长. 14.如图,内接于,是的直径,E,C,D是上的点,,连接分别交于点F,G. (1)求证:. (2)若,求的长. 15.如图, 是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点,连接BD,CD,过点D作DP∥BC与AC的延长线交于点P. (1)求证:△ABD∽△ADP (2)求证:DP是⊙O的切线; (3)当AB=5cm,AC=12cm 时,求线段PC的长. 16.已知:如图,AB是 的直径,点 为 上一点,点D是 上一点,连接 并延长至点C,使 与AE交于点F. (1)求证: 是 的切线; (2)若 平分 ,求证: . 17.如图所示,在中,点O在斜边上,以O为圆心,为半径作圆O,分别与、相交于点D、E,连接,已知. (1)求证:是的切线; (2)若,,求劣弧的长; (3)若,,求的长. 18.如图, 为 的切线,A为切点,点B在 上,且 ,连 并延长交 的延长线于点C,交 于点D. (1)求证: 为 的切线; (2)连接 、 交于点E.若 , ,求 的值. 19.如图,在等腰中,,以为直径的与交于点D,,垂足为E,的延长线与的延长线交于点F. (1)求证:是的切线; (2)若的半径为,,求的长. 20.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交BC,AC于点D,E,连接EB,交OD于点F. (1)求证:OD⊥BE; (2)若DE= ,AB=10,求AE的长; (3)若△CDE的面积是△OBF面积的 ,求 的值. 答案解析部分 1.【答案】(1)证明:如图,连接, ∵, ∴. ∵平分, ∴, ∴, ∴,