专题9 三角函数基础知识 讲义-2023届高考数学二轮复习拔萃微专题

专题9 三角函数基础知识 知识点一　任意角 1．角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． 2．角的表示： 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角α的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3.角的加法与减法 设α，β是任意两个角，－α为角α的相反角． (1)α＋β：把角α的终边旋转角β. (2)α－β：α－β＝α＋(－β)． 4.　象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 5.确定nα及所在的象限 典例　已知α是第二象限角，求角所在的象限． 法一　∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)． 当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<<n·360°＋90°，这表明是第一象限角； 当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<<n·360°＋270°，这表明是第三象限角． ∴为第一或第三象限角． 法二　如图，先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角． 若本例条件中角α变为第三象限角，求角是第几象限角． 如图所示， 先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角的终边所在的区域，故角为第二或第四象限角． 若在本例条件下，求角2α的终边的位置． 解　∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上． 6.终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 【例1】的终边在第几象限（ ） A．一　　 B．二 C．三 D．四 【例2】若角的终边与角的终边相同，则在范围内，终边与角的终边相同的角为________． 知识点二　弧度制 1. 1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示． 2. 角α的弧度数：如果半径为的圆的圆心角α所对弧的长为，那么，角α的弧度数的绝对值是 3.角度与弧度的换算①② 4. 弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l，圆心角大小为(0<α<2π)，半径为，又，则扇形的面积为. 【例3】弧长为，圆心角为的扇形半径为________，面积为________． 【例4】（2022•甲卷）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当，时，　　 A． B． C． D． 【例5】（2019•北京）如图，，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为　　 A． B． C． D． 知识点三　任意角的三角函数的定义 1.定义式：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)， 点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x；把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0)． 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么 y叫做的正弦，记作sinα x叫做的余弦，记作cosα 叫做的正切，记作tanα 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 图示： 2.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于，则点是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为，即，其中单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则．我们把有向线段叫做的余弦线、正弦线、正切线．