模型32 平行四边形——对角互补模型-备战2023年中考数学几何模型专项复习讲与练

平行四边形 模型（三十二）——对角互补模型 ◎结论1：如图，∠ABC=∠ADC=90°，AD=DC， 则①BC+AB=BD，②=BD2， ③BD是角平分线 【证明】【关键：把互补转化成相等，看到互补的条件，找其中一角的邻补角，转化成相等】 旋转相等边的夹角 ⑴ AD.CD夹角90°,旋转90°, 延长BC至E，使CE＝AB,连接DE， ∵∠DAB＋∠DCB＝180° ∠DCE＋∠DCB＝180° ∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB和△DCE中 DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝90° ∴∠2＋∠3＝90° ∴△BED是等腰直角三角形 BE＝BD,BC＋CE＝BD，BC＋AB＝BD ⑵ = ＋＝＋＝＝BD·DE 由⑴得，BD=DE，∴ ＝BD·DE＝BD2 ⑶ 由⑴得，△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC=45º，∴BD是角平分线. ◎结论2：如图，∠ABC=60º，∠ADC=120°，AD=DC， 则①BC+AB=BD，②=BD2，③BD是角平分线 【证明】 ⑴ 满足对角互补，邻边相等 AD.CD夹角120°，旋转120° 延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180° ∠DCE＋∠DCB＝180° ∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB和△DCE中 DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝120° ∴∠2＋∠3＝120° 过D作DM⊥BE于M， ∴∠BDM＝60°，BM＝ME ∴sin60°＝ ∴ ＝ ∴＝，即BE＝BD，∴BC＋AB＝BD ⑵ 由⑴得DM= BD，BE=BD ＋＝＋＝＝BE·DM ＝·BD· BD＝BD2 ⑶由⑴得BD＝DE，∠BDE＝120º， ∴∠B＝∠E＝30º， ∴BD是角平分线 补充：图形如果是下图这样，结论会稍有不同 【结论】∠AOB=120º，∠DCE＝60º，OC平分∠AOB，D、E在OA、OB上， 则， ①CD=CE ②OD+OE=OC ①在OB上取一点F，连结CF，使△OCF为等边三角形， ∵∠FCE＋∠OCE＝∠DCO＋OCE＝∠DCE＝60° ∴∠FCE＝∠DCO ∵△OCF为等边三角形 ∴∠CFE＝∠COD，且CF＝CO， 易证△CDO≌△CEF ∴CD＝CE ②∵△CDO≌△CEF ∴DO＝EF， ∴OD＋OE＝OE＋EF＝OF ∴OD＋OE＝OC ◎结论3：如图，∠ABC=，∠ADC=180º－，AD=DC， 则①BC+AB=2BD，②=BD2，③BD是角平分线 ①【证明】满足对角互补，邻边相等 AD,CD夹角180－a,旋转180－a 延长BC至点E，使CE＝AB，连接DE ∵∠DAB＋∠DCB＝180° ∠DCE＋∠DCB＝180° ∴∠DAB＝∠DCE 在△DAB和△DCE中 DA＝DC,∠DAB＝∠DCE,AB＝CE ∴△DAB≌△DCE ∴BD＝ED，∠1＝∠2 ∵∠1＋∠3＝180－a ∴∠2＋∠3＝180－a （把图形抽离出来） 过D作DM⊥BE于M， ∴∠BDM＝90°－a， ∴∠DBM＝a，BE＝2BM，cosa＝ ∴2cosa＝2＝ BE＝2BDcosa ∴BC＋AB＝2BD COSa ②【证明】由上可知△DAB≌△DCE， 所以△DAB的面积＝△DCE的面积 ∴＝ （把图形抽离出来） 由①过程可知BE＝2BDcosa DM＝BD sina ∴＝BE DM＝2BDcosa BD sina＝BD2 ∴＝BD2 ③∵BD＝ED ∴∠E＝∠DBE ∵△DAB≌△DCE ∴∠ABD＝∠E ∴∠ABD＝∠DBE ∴BD为角平分线。 1．（2021·全国·八年级专题练习）如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（    ）． 2．（2021·重庆·西南大学银翔实验中学八年级阶段练习）如图，在四边形中，于，则的长为__________ 1．（2019·江苏南京·八年级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为_________． 2．（2021·全国·八年级专题练习