专题13求函数的单调区间（重难点突破）-【赢在寒假】2023年高二寒假精品课讲与练（新教材人教A版2019）

专题13 求函数的单调区间 【重难点知识点网络】： 1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数． 在上为减函数． 2、导数与单调区间的联系 （1）函数在可导，那么在上单调递增.此结论可以这样理解：对于递增的函数，其图像有三种类型： ，无论是哪种图形，其上面任意一点的切线斜率均大于零. 等号成立的情况：一是单调区间分界点导数有可能为零，例如：的单调递增区间为，而，另一种是位于单调区间内但导数值等于零的点，典型的一个例子为在处的导数为0，但是位于单调区间内. （2）函数在可导，则在上单调递减 （3）前面我们发现了函数的单调性可以决定其导数的符号，那么由的符号能否推出在的单调性呢？如果不是常值函数，那么便可由导数的符号对应推出函数的单调性.（这也是求函数单调区间的理论基础） 3、利用导数求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域 （2）求出的导函数 （3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间 （4）列出表格 4、求单调区间的一些技巧 （1）强调先求定义域，一方面定义域对单调区间有限制作用（单调区间为定义域的子集）.另一方面通过定义域对取值的限制，对解不等式有时会起到简化的作用，方便单调区间的求解 （2）在求单调区间时优先处理恒正恒负的因式，以简化不等式 （3）一般可令，这样解出的解集就是单调增区间（方便记忆），若不存在常值函数部分，那么求减区间只需要取增区间在定义域上的补集即可(简化求解的步骤） （4）若的解集为定义域，那么说明是定义域上的增函数，若的解集为，那么说明没有一个点切线斜率大于零，那么是定义域上的减函数 （5）导数只是求单调区间的一个有力工具，并不是唯一方法，以前学过的一些单调性判断方法也依然好用，例如：增+增→增，减+减→减，增→减，复合函数单调性同增异减等.如果能够通过结论直接判断，那么就无需用导数来判定. 5、求单调区间的一些注意事项（1）单调区间可以用开区间来进行表示，如果用闭区间那么必须保证边界值在定义域内.例如函数的单调减区间为，若写成就出错了（0不在定义域内）. （2）如果增（或减）区间有多个，那么在书写时用逗号隔开，一定不要用并集的符号.有些同学觉得不等式的解集是多个部分时用“”连接，那么区间也一样，这个观点是错误的.并集是指将两个集合的元素合并到一起成为一个集合，用在单调区间上会出现问题.依然以为例，如果写成，那么就意味着从合并在一起的集合中任取两个变量，满足单调减的条件.由性质可知，如果在两个区间里各取一个，是不满足单调减的性质的. 【重难点题型突破】： 例1、（2022秋·黑龙江佳木斯·高三建三江分局第一中学校考期中）已知函数，下列说法错误的有（    ） A．曲线在处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 例2．（2022·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考模拟预测）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022秋·福建莆田·高三校考期中）已知函数，若在R上单调递增，求实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 例4．（2022秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，则（    ） A．的单调递减区间为 B．的极小值为1 C．的最小值为-1 D．的最大值为1 例5、．（2016全国1文12）若函数在单调递增，则a的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 例6、（2022秋·福建福州·高三校联考期中）已知函数，则（    ） A．在上是增函数 B．的图象关于轴对称 C．的图象关于点对称 D．不等式的解集是 例7、已知函数判断函数的单调性。 例8、（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考期末）若函数在是严格增函数，则实数的最小值是_________. 例9、（2022·全国·高二专题练习）若函数在上为单调增函数，则m的取值范围为________． 例10、（2014全国卷2理21）已知函数= （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）设，当时，，求的最大值； （Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0．001） 例11、设函数 ，其中为常数． （Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性． 例12．（2021春·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线的方程； (2)求函数的单调区间及极值. 例13．（2022·陕西汉中·统考一模）已知 (1)讨论的单调性； (2)对，使得恒成立，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 求函数的单调区间 【重难点知识点网络】： 1、函数的单调性：在内可导函数，在任意子区间内都不恒等