第四章 图形的相似——相似三角形的计算与证明 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

( 知识导航 )相似三角形的计算与证明 1．相似三角形重要基本图形 2．利用相似计算线段 3．利用相似证明线段比例、乘积 ( 典例精讲 ) 【知识点一】 常见相似基本图形梳理 共边角相似及变形 射影图（共边角相似的特殊情况） 燕尾图 一线三等角模型及变形： 结论：当C是BD中点时，△ABC∽△ACE∽△CDE． 旋转型相似（双重相似） 【知识点二】 相似中计算 例1 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．①求证：△ADF∽△DEC；②若AB=4， AD=，AE=3，求AF的长． 练1 如图，在Rt△ABC的斜边AB上取一点D，过点D作DE// BC交AC于点E，GF垂直平分DE ，GD⊥AB．已知AE=，AC=，BC=6，则DG= ． 例2 如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线BD上的一动点，连结AO并延长，与DC交于点R，与BC的延长线交于点S．若AD=4cm，∠DCB = 60，BS=10cm，求AS和OR的长． 练1 如图， 点P是菱形ABCD的对角线BD．上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F．若AB=2，DP：PB=1：2，且PA⊥BF，求对角线BD的长． 例3 如图，在Rt△ADE中，AC为∠EAD的角平分线，BC⊥AC，AB= ，AE=，求BC、BD和CD的长． 练1 如图， 已知△ABC中，AB= AC，AD⊥AB于点A，交BC边于点E，DC⊥BC于点C，与AD交于点D． （1）求证：△ACE∽△ADC； （2）如果CE=1，CD=2，求AC的长． 例4 如图，CD是Rt△ABC的斜边上的高． （1）已知AD=8cm，CD=6cm，则BC= ； （2）已知AD=16cm，BD=4cm，则BC= ； （3）已知AC=cm，BD=2cm，则BC= ； 例5 如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，则小正方形的边长为 ． 练1 如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交DC于点F，连接AF．设，则下列结论：①△ABE∽△ECF，②AE平分∠BAF，③当k=1时，△ABE∽△ADF，④当k=时，△AEF∽△ADF；其中结论正确的是 ． 练2 如图，在边长为10的正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF：DC=1：4， 连接EF并延长交BC的延长线于点G，求BG的长． 例6 如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，求CF的长． 例7 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．当点Q在线段CA的延长线上时： （1）求证：△BPE∽△CEQ； （2）连接PQ，当BP=2，CQ=9时，求PQ． 练1 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=a，且DM交AC于F，ME交BC于G． （1）写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对； （2）连接FG，如果a=45°，AB=，AF=3，求FG的长． 例8 己知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，如图，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF． （1）求证：△CAE∽△CBF； （2）若BE=1，AE=2，求CE的长； 练1 如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，∠ABC=∠CED=∠CAE= 30°． ①连接图中两个点，构造与△ACD相似的三角形，并说明理由； ②若AC=3，AE=8，求AD的长． 【知识点三】 利用相似证明比例乘积 例1 如图，△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF// AB，延长BP交AC于E，交CF于F ．求证：． 练1 已知：如图，∠CAB=90°，AD⊥CB，△ACE、△ABF是正三角形，求证：DE⊥DF． 例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB于D，E为BC的中点，DE，AC的延长线交于F． 求证：． 练1 在 △ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DE=DF，∠EDF=∠A． （1）求证：△BAC∽△EDF； （2）求证：． 例2 如图：在△ABC中，BD、CE是高，DG⊥BC于G，GD所在直线．分别交CE和BA的延长线于