第四章 图形的相似——相似三角形及其判定 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

( 知识导航 )相似三角形及其判定 1．相似三角形的定义 2．相似三角形的判定 ( 典例精讲 ) 【知识点一】 相似三角形的定义 定义：对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数） ． 注意： ①记两个三角形相似时，和记两个三角形全等一样， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． ②全等是特殊的相似，相似比是1：1．全等要求形状相同与大小相等，而相似只是形状相同． ③由相似的定义，得相似三角形对应角相等，对应边成比例． ④相似三角形有传递性： 若△∽△，△∽△，则△ △． 【知识点二】 相似三角形的判定 1．预备定理：平行于三角形一边的直线与另外两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．相似三角形的判定定理 ★判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似． 例1 如图，B，C，D三点共线，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE．求证：△ABC∽△CDE ． 例2 如图B，C，D三点共线，且∠B=∠D=∠ACE=a，求证：△ABC∽△CDE ． 练1 如图，△ABC中，△ACB=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠BPC=∠CPA， 求证：△APC∽△CPB ． 练2 已知△PQR是等边三角形，∠APB= 120°，指出图中的相似三角形并证明． 例3 已知：如图，△ABC的高AD，BE相交于点F，求证：AF·FD= BF·FE ． 例4 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是Rt△ABC的高． 求证： （1）； （2） ； （3）． 练1 如图， 已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是Rt△ABC的高．若E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线相交于点F．求证：． ★判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 例1 如图，已知AD·AB= AE·AC．则：①△ADE∽△ACB；②△AEB∽△ADC．正确的是 ；相似依据是 ． 练1 如图，四边形ABEG、GEFH、HFCD都是边长为2的正方形． ①求证：△AEF∽△CEA；②求∠AFB+∠ACB的值． 练2 如图，△ABC是等边三角形，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点． ①当BD、BC和CE 满足什么条件时，△ADB∽△EAC？ ②当△ADB∽△EAC时，求∠DAE的度数． 例2 如图，已知D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4． 求证:：△ABC ∽△DBE． 练1 如图，在△ABC中，点D在边BC上，联结AD，∠ADB=∠CDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且．求证：△BFD∽△CAD． ★判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为： 三边对应成比例，两三角形相似． 例1 如图，在正方形网格上的三角形①，②，③中，与△ABC相似的三角形有 （填番号）． 练1 如图，；求证：△BAD∽△CAE． 练2 如图， 正方形ABCD中，E为AB中点，BC=4BF， 那么图中与△ADE相似的三角形有（ ） A．△CDF B．△BEF C．△BEF、 △DCF D．△BEF 、△EDF 【知识点三】 相似图形的面积 例1 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3；1，连接AE交BD于点F， 则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 练1 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若 EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 ( 课 后 巩固 ) 【A类】 1．如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的是 （填番号）． 2．在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与四边形BCED的面 积的比是　 　． 【B类】 3．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F．则AF·BD=AD·BE吗？说说你的理由． 4．如图，在△ABC中，点D在边AC上，AE分别交线