4.2 平行线分线段成比例定理 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

平行线分线段成比例 ( 知识导航 ) 1．平行线分线段成比例定理 2．平行线分线段成比例定理的推论 ( 典例精讲 ) 【知识点一】 平行线分线段成比例定理 1．定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图1，∵L₁//L₂//L₃， ∴; 如图2，∵L₁//L₂//L₃， ∴． 图1还有哪些线段成比例： 图2还有哪些线段成比例： 例1 已知：如图，， AB=3，DE=2，EF=4，求BC． 练1 已知：如图，，AB=3，BC=5，DF=12，求DE和EF的长． 【知识点二】 平行线分线段成比例定理的推论 推轮1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图3，∵DE// BC，∴； 如图4，∵AB//CD，∴． 图3还有哪些线段成比例： 图4还有哪线段成比例： 例1 如图，在△ABC中， D、E分别是AB和AC上的点，且DE// BC．若AB=16，AD=4，AE=8，求EC的长． 例2 如图，己知AB//CD，AD与BC相交于点O．若，AD=10，则AO= ． 练1 如图，， AB=3， AD=2， DE=4， EF= 7.5，求BC、BF的长． 推轮2：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． 证明（图3）： 例1 如图，己知EF//BC， FD//AB，AE=1.8cm，BE=1.2cm，CD= 1.4cm，求BD． 练1 如图，己知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上，若AB=15，BC=12，求菱形边长． 例2 如图，H为ABCD中AD边上一点，且，AH=DH，AC和BH交于点K，则AK：KC= ． 例3 如图，，AF：FB=2：5，BC：CD=4：1，则AE：EC = ． 练1 如图，ABCD中， M，N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB于E点，连接EN并延长交CD于F点，则DF ：AB= ． 例4 如图，在△ABC中，EF// DC， DE// BC，求证：AF ：FD= AD：DB． 练1 已知: △ABC中，DF //BC．求证：． 练2 如图，AB//CD，AD和BC相交于点E，EF//AB．试说明． 例5 三角形三个中线交于一点，这个交点叫作三角形的重心．重心性质：如图，△ABC的中线BE、CF相交于点G，则GE：GB=1：2． （1）证明：GE：GB=1：2． （2）利用重心性质，计算下列各题: ①如图，ABC的中线BE、CF相交于G，且AB=12，AC=16， BC=20，求GC的长. 例6 阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题. 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则．下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过C作CE//DA．交BA的延长线于E．…… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）填空：如图3，已知Rt△ABC中， AB=3， BC=4，∠ABC=90°， AD平分∠BAC，则△ABD的周长是 ． 练1 已知：如图：△ABC中， ∠BAC的外角平分线AD与边BC的延长线相交于点D，求证：． 例7 如图，ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF=FD，EF交AC于G，则AG：AC= ． 练1 如图， 在梯形ABCD中，AB//CD，AB=3CD，其中点E是对角线AC的中点，直线BE交AD与于F，则 ． 练2 在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD：DB=3：2，AE：EC=1：2，直线ED和CB的延长线交于点F ，求①FB：FC；②FD：FE． ( 课 后 巩固 ) 【A类】 1．如图1，直线， 直线AC分别交，，于点A，B，C，直线DF分别交，，于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG=2，GB=1，BC=5，则 ． 2．如图2，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB=4cm，则线段BC= cm． 【B类】 3．如图，在△ABC中，点D是边AB的四等分点，DE// AC，DF// BC，AC=8，BC=12，则四边形DECF的周长为 ． 4．已知：AM：MD=4：1， BD：DC=2：3，则AE：EC= ． 【C类】 5．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF//