第四章 图形的相似——比例线段及比例的基本性质 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

比例线段及比例的基本性质 ( 知识导航 ) 1．比例线段 2．比例性质 3．黄金分割比 ( 典例精讲 ) 【知识点一】比例线段 1．线段的比：在同一单位长度下，两条线段 长度 的比叫做这两条线段的比． 2．比例线段：四条线段中，若其中两条线段的比值等于另外两条线段的比值，则这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若，则称线段a，b，c，d成比例线段，这是有序的． 3．比例内外项、中项 a：b=c：dad =bc ，其中a，b，c，d分别叫第一、第二、第三、第四比例项，a，d 称为外项，b，c 称为内项；外项的积等于内项的积．若，则称b是ac的比例中项． 4．比例尺： ，称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位． 例1 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．，b=3，c=2， B．a=4，b=6，c=5，d=10 C．a=2，，， D．a=2，b=3，c=4，d=1 练1 已知1，，5三个数， 如果再添一一个数，使之能与已知的三个数成比例，满足这样的数是 ． 【知识点二】比例性质 1、基本性质：； 2、反比性质：； 3、横比性质：； 4、合比性质：拓展：； 5、等比性质：，则； 例1 已知，则 ， ． 练1 若，则的值是 ． 例2 若，且．试求a：b：c． 练2 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且，请你探索△ABC的形状． 例3 已知，则 ， ． 练1 若，且，那么 ． 例4 已知，则k= ． 练1 若已知a、b、c、d是非零实数，且，求k的值． 例5 在△ABC和△DEF中，，△ABC和△DEF的周长差为15cm，求△ABC的周长． 练1 在△ABC与中，若，那么△ABC与的周长之比是多少？请说明理由． 【知识点三】 黄金分割 1．黄金分割：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段AB被点C黄金分割．其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比． 2．，叫做黄金比值． 例1 在一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看．如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm）（参考数据：黄金分割数：，） 练1 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体，若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点 m． 例2 如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离． 练2 实数a，n，m，b满足，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若，，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当时，a，b的大黄金数与小黄金数之差 ． 例3 已知P是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为 ． ( 课 后 巩固 ) 【A类】 1．已知，那么下列等式中，不成立的是（ ） A． B． C． D．4x=3y 2．己知：，则 ． 【B类】 3．若，且，则 ． 4．已知a，b，c，d是非零实数，且则，则k= ． 5．己知线段AB=6cm，点P为线段AB的黄金分割点，则线段AP= ． 【C类】 6．要设计一座2m高的维纳斯女神雕像（如图），使雕像的上部AC （肚脐以上）与下部BC（肚脐以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C（肚脐）就叫做线段AB的黄金分割点，这个比值叫做黄金分割比，试求出雕像下部设计的高度以及这个黄金分割比？（结果精确到0．001） ( 进门测试 ) 1．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组线段中，成比例的是（　　） A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cm C．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm 3．若，则　 　． 4．已知x：y＝2：3，求： （1）的值； （2）若x+y＝15，求x，y的值． 学科网（北京）股份有限公司 $