1.4 线段的垂直平分线-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学下册同步精讲精练(北师大版)

1.4 线段的垂直平分线 知识点一 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 知识点二 线段垂直平分线的判定 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 题型一 利用线段垂直平分线的性质求线段 【例题1】如图，在中，，的中垂线交于，的中垂线交于，则的周长等于 　 　． 解题技巧提炼 利用线段的垂直平分线的性质求解 【变式1-1】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为12，，则的周长为　　 A．10 B．9 C．8 D．7 【变式1-2】如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，连接AE、AF，若△AEF的周长为2，则BC的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 【变式1-3】如图，点为三边垂直平分线的交点，若，，则的度数为　 　． 【变式1-4】如图，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于点E，，则_______． 【变式1-5】如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点这两条垂直平分线分别交于点．已知的周长，分别连接，若的周长为，求的长． 题型二 利用线段垂直平分线的性质求角度 【例题2】如图，已知，，垂直平分交于点，交于点，则　　． 解题技巧提炼 利用线段的垂直平分线的性质求解 【变式2-1】如图，已知中，，为内一点，过点的直线分别交，于点、．若在的中垂线上，在的中垂线上，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2-2】如图，线段，的垂直平分线、相交于点．若，则　　 A． B． C． D． 【变式2-3】在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、，若，则　 　． 【变式2-4】如图，在中，，，AB的垂直平分线MN交AC于D点，连接BD，则的度数是________． 【变式2-5】如图，在等腰三角形中，，，是的中点，于点，延长至点，使，连接，则的度数为________°. 题型三 线段垂直平分线的性质的应用 【例题3】近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，，，三地都想将高铁站的修建项目落户在当地，但是，国资委为了使，，三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到，，三地距离都相等的地方，则高铁站应建在　　 A．，两边垂直平分线的交点处 B．，两边高线的交点处 C．，两边中线的交点处 D．，两内角的平分线的交点处 解题技巧提炼 根据线段的垂直平分线的性质进行求解 【变式3-1】元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（　　） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点 【变式3-2】如图，在中，已知点D在上，且，则点D在（ ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中点 D．的垂直平分线上 【变式3-3】如图，若记北京为A地，莫斯科为B地，雅典为C地，若想建立一个货物中转仓，使其到A、B、C三地的距离相等，则中转仓的位置应选在（　　） A．三边垂直平分线的交点 B．三边中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【变式3-4】如图，电信部门要在区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇，的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在　　 A．的平分线和线段的交点处 B．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 C．的平分线和线段的交点处 D．的平分线和线段的垂直平分线的交点处 【变式3-5】已知△，找一个点使，则这个点应该是这个三角形（ ） A．三边中线的交点 B．三内角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三边中垂线的交点 题型四 线段垂直平分线的性质综合 【例题4】如图所示，在中，、是边、的垂直平分线，其垂足分别为、，分别交于、，且和交于点． （1）若，则　　； （2）若，则　　； （3）若，，设周长为，则的取值范围为　　． 解题技巧提炼 熟知线段垂直平分线的性质是解题关键 【变式4-1】如图，在中，的中垂线交于点，交于点，已知，的周长为22，则______． 【变式4-2】已知：如图，点，在的边，上，的垂直平分线与的垂直平分线相交于点，连接，，，． （1）求证：①；②；（2）探究：满足什么条件时，是等边三角形，并说明理由；（3）若，请在备用图中画出符合条件的图形，并探究与之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-3】如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC