空间向量与立体几何补充专题1：已知角求角问题专练-2023届高三数学二轮专题复习

空间向量与立体几何：已知角求角问题专练 1. 如图，点是正方形的中心，，，，． 证明：平面； 若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值． 2. 如图，四棱柱中，底面是平行四边形，，，， ，为的中点．   求证：；   若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值． 3. 在四棱锥中，底面为正方形，． 证明：平面平面； 若与底面所成的角为，，求二面角的正弦值． 4. 如图，菱形中，，动点，分别在边，上不含端点，且，沿将向上折起得到，使得平面平面，如图所示． 当为何值时， 若直线与平面所成角的正切值为，求平面和平面夹角的大小． 5. 如图，，，，将图中左右两个三角形沿着翻折成为图所示的三棱锥，棱上的点满足． 过点作截面平面，写出作法并证明 当二面角的大小为时，求直线与中平面所成角的正切值． 6. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，，平面平面，为棱上的点，且． 求证：平面； 若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值． 7. 如图所示，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，是的中点． 求证：平面平面； 若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 8. 如图，在几何体中，，，，四边形为矩形，，，分别为，的中点． 求证：平面； 若直线与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 答案和解析 1.【答案】解：证明：四边形为正方形，，又，，，平面，平面；平面，； 又，，，平面，平面． 以为坐标原点，的正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 平面，直线与平面所成角为， ，解得：； ，，，， ，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．  2.【答案】证明：由条件得，在中，，，， 由余弦定理得，， 所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 解：因为，，， 平面， 所以平面， 因为，， 所以为二面角的平面角， 因为二面角的大小为，所以， 在中，，，，所以， 取的中点，连接，则， 以为原点，分别以为，，正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以， 则，， 设平面的法向量为， 则取， 因为，， 所以， 设直线与平面所成的角为， 则． 直线与平面所成角的正弦值为．  3.【答案】证明：连接，与的交点为， 四边形为正方形，， ，，， 又，，平面， 平面， 又平面， 平面平面． 解：过点作，垂足为， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 与底面所成的角为，， 又，设， 则，，，，，  如图所示， 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面法向量为， ， ，令，则，， ， 设平面法向量为， ， ，令，则，， ， ， 则， 二面角的正弦值为  4.【答案】解：菱形中，，故，， 是等边三角形，又，也是等边三角形， 平面平面，取的中点，则，且平面，连接，由，而，， 平面，， 延长交于点，则， 又，为的重心， 又点在上，，，即． 方法一：由连接，设边长为，则，， 平面， 直线与平面所成角为， ，解得， 是的中位线， 在棱锥中，设与相交于点，连接， 又设平面平面于直线，则过点， ，平面， 平面， 又平面平面于直线， ，同理， 由上可知，， 平面，平面， 就是平面和平面所成二面角的平面角， 又，且，，即平面与平面的夹角为． 方法二：以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设菱形边长为，则，，，，，，平面，即为与平面所成的角， ，解得，平面， 即为平面的法向量． 设平面的法向量为， 则即 取，则，，，， 平面与平面的夹角为．   5.【答案】解：作法：如图，作交于，作交于，连接， 则即截面． 证明：，平面，平面，平面 同理平面， 而，，平面， 平面平面，即截面平面 方法一：综合法 如图，在平面中作，， 则，，平面，平面，平面平面， 即二面角的一个平面角， 而，，平面，平面，而平面， 易知，平面平面， 设点在平面上的投影为，则在的延长线上，连接，则， 即直线与平面所成的角，也等于与平面所成的角 ，，故H， 直线与平面所成角的正切值为 方法二：向量法 如图，在平面中作，， 则，，平面，平面，平面平面， 即二面角的一个平面角，即， 而，，平面，平面， 由第问可知直线与平面所成的角等于与平面所成的角 可建立如图所示的空间直角坐标系，轴在平面上． 计算得点，， 取平面的一个法向量为 设与平面所成的角为，则 ， 因为， 直线与平面所成角的正切值为   6.【答案】解：设点为的一个三等分点，且，连接，， 如图所示． ，， ，且， 又，且，从而可得，且． 可知四边形是平行四边形． ． 平面，平面， 平面． 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面． 又平面，则，所以是二面角的平面角． 由题意