2023年九年级中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算

2023年中考数学专题——相似三角形与圆的综合运算 一、综合题 1.如图,AB是⊙O的弦,点C是的中点,连接BC,过点A作交⊙O于点D.连接CD,延长DA至E,连接CE,使. (1)求证:CE是⊙O的切线; (2)若,,求AD的长. 2.如图,AB是⊙O的直径,AD平分∠BAC,点C,D在⊙O上,过点D作DE⊥AC,交AC的延长线于点E. (1)求证:DE是⊙O的切线; (2)若,,求AD的长. 3.如图,已知AB为⊙O的直径,AC、CD是弦. 于E. 于F,连接BC (1)求证: ; (2)若EB=4cm, cm,求AC的长. 4.如图,已知△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交CB于D,E为AB延长上一点,∠C+∠BDE=90°. (1)求证:DE是⊙O的切线. (2)若BE=2,tan∠ABC= ,求⊙O的半径. 5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D为BC上的一点,以AD为直径的 交AB于E,连接CE交 于G,连接DG,∠ACB=∠EGD. (1)证明:BC与 相切; (2)若BD=2,CD=6,求 的直径AD; (3)在(2)的条件下,求EC. 6.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,AP BC,BP交AC于Q. (1)求证:PA是⊙O的切线; (2)连接OC交BQ于点D,若BP⊥AC于Q,CD=2OD=2,求AP的长. 7.如图,内接于⊙O,且为⊙O的直径,交于点,在的延长线上取点,使得∠DCE=∠B. (1)求证:是⊙O的切线; (2)若,,求AE的长. 8.如图,在 中, ,点 在线段 上,以 为直径的 与 相交于点 ,与 相交于点 , . (1)写出图中所有与 相似的三角形; (2)求证: 是 的切线; (3)若 , ,求 的半径 ; 9.如图,延长弦、弦,交于圆外一点A,连接、. (1)证明:; (2)若,,,求. 10.如图,AB是圆O的直径,点D在直径AB上(D与A,B不重合),CD⊥AB,且CD=AB,连接CB与圆O交于点F,在CD上取一点E,使得EF=EC. (1)求证:EF是圆O的切线; (2)若D是OA的中点,AB=4,求CF的长. 11.如图,AB为的直径,D为BA延长线上一点,过点D作的切线,切点为C,过点B作交DC的延长线于点E,连接BC. (1)求证:BC平分; (2)当时,求的值; (3)在(2)的条件下,连接EO,交BC于点F,若,求的半径. 12.如图,在四边形中,于的平分线交于点以点O为圆心,为半径的圆经过点B,交于另一点F. (1)求证:与相切. (2)若,.求的长度. 13.如图,BD是圆O的直径,A、C是圆O上的两个点,且AB=AC,AD与BC的延长线交于点E. (1)证明: ABD∽ AEB; (2)若AD=1,DE=3,求圆O的直径的长. 14.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),B是y轴正半轴上的一个动点,以OA为直径作圆,交AB于点C. (1)求证:△AOB∽△ACO; (2)当∠OAB=30°时,求点C到x轴的距离; (3)求 的最大值. 15.如图所示,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于点E,且C为 的中点。若EC=2,tan∠CEB=2. (1)求证:ΔABE∽ΔDCE,并求出BE的长; (2)求⊙O的面积. 16.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点P. (1)求证:EP与⊙O相切; (2)连结BD,求证:AD·DP=BD·AP (3)若AB=6,AD=,求DP的长. 17.如图,为的直径,,为圆上的两点,,弦与,分别交于,. (1)求证:; (2)连结,若,,求的长. 18.如图,已知三角形ABC的边AB是圆O的切线,切点为B. AC经过圆心O并与圆相交于点D,C,过C作直线CE丄AB,交AB的延长线于点E, (1)求证:CB平分∠ACE; (2)若BE=3,CE=4,求圆O的半径. 19.如图,钝角△ABC中,AB=AC,⊙O为△ABC的外接圆,点D为优弧上一点(不与B,C重合),连接AD,CD,AD交BC于点E, △ACD的内心F恰好落在BC上. (1)求证:AB∥CD; (2)连接AF,求证:AB=BF; (3)若BE=4,CE=5,求CF的长. 20.如图,AB是的直径,C、D为上不同于A、B的两点,并且C、D位于直径AB的两侧.. (1)如图1,求证:; (2)如图2,AB、CD交于点E,过点E作于点F,延长交于点M,求证:; (3)在(2)的条件下,若,,求线段的长. 答案解析部分 1.【答案】(1)证明:连接OC,如图所示: ∵,OC过圆心, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵OC为半径