课后提升练(2) 两个计数原理的应用（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

课后提升练(二)　两个计数原理的应用 [对应学生用书P89] 1．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有(　　) A．6种 B．12种 C．24种 D．30种 C　解析：分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种). 2．从集合{1，2，3，4，5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有(　　) A．18条 B．20条 C．25条 D．10条 A　解析：从集合中选2个不同数作A，B，有5×4＝20种选法，其中x＋2y＝0与2x＋4y＝0，2x＋y＝0与4x＋2y＝0表示同一条直线，则共有20－2＝18(条).故选A. 3．现有4种不同花卉植入图中A，B，C，D中，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有(　　) A．12种 B．24种　 C．48种 D．72种 D　解析：先种C，有4种方法，种D有3种方法，种A有3种方法，种B有2种方法．由分步乘法计数原理，共有4×3×3×2＝72种方法． 4．如图，一只蚂蚁从点A出发沿着水平面的线条爬行到点C，再由点C沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B，则它可以爬行的不同的最短路径有(　　) A．40条 B．60条 C．80条 D．120条 B　解析：蚂蚁从A到C需要走五段路，其中三纵二横，共有10条路径，从C到B共有3×2＝6条路径，根据分步乘法计数原理可知，蚂蚁从A到B可以爬行的不同的最短路径有10×6＝60条． 5．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为(　　) A．240 B．300 C．360 D．420 D　解析：如图，四棱锥S­ABCD，按S→A→B→C→D依次染色，当A，C同色时，有5×4×3×1×3＝180(种). 当A，C不同色时，有5×4×3×2×2＝240(种).因此共有180＋240＝420(种). 6．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个． 36　解析：确定虚数a＋bi，分两步：(1)确定虚部b，b只能取1，2，3，4，5，6之一，有6种不同取法；(2)确定实部a，a在剩余的6个数字中任取其一，有6种不同取法．所以共能组成6×6＝36个不同的虚数． 7．用数字2，3组成四位数，且数字2，3至少都出现一次，这样的四位数共有________个． 14　解析：方法一　首先确定数字中2和3的个数， 当四位数中有1个2，3个3时，共有4种结果， 当四位数中有2个2，2个3时，共有2×3＝6种结果， 当四位数中有3个2，1个3时，共有4种结果， 根据分类加法计数原理知共有4＋6＋4＝14种结果． 方法二　用2，3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个．因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个). 8．现用4种不同的颜色为社会主义核心价值观中的四个主题词(如下图)涂色，要求相邻的词语涂色不相同，则不同的涂法种数为多少？ 解：首先给最左边一块涂色，有4种涂法，再给左边第二块涂色，有3种涂法，然后给第三块涂色，有3种涂法，最后给第四块涂色，有3种涂法．根据分步乘法计数原理知，不同的涂色方法共有4×3×3×3＝108(种). 9．用数字1，2，3，4，5，6组成无重复数字的三位数，然后由小到大排成一个数列． (1)求这个数列的项数； (2)求这个数列中的第89项． 解：(1)完成这件事需要分别确定百位、十位和个位上的数字，可以先确定百位，再确定十位，最后确定个位，因此要分步相乘． 第一步：确定百位数，有6种方法；第二步：确定十位数，有5种方法；第三步：确定个位数，有4种方法． 根据分步乘法计数原理，共有N＝6×5×4＝120(个)三位数． 所以这个数列的项数为120. (2)这个数列中，百位是1，2，3，4的共有4×5×4＝80(个)，百位是5的三位数中，十位是1或2的有4×2＝8(个)，所以第88项为526.故第89项为531. 10．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 D　解析：以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9.以2为首项的等比数列为2，4，8.以4为首项的等比数列为4，6，9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，∴所求的数列