北京市重点学校2021-2022学年高二上学期期中数学汇编：立体几何初步

2021北京重点校高二（上）期中数学汇编 立体几何初步 一、单选题 1．（2021·北京四中高二期中）“六边形教室”是四中校友记忆中不可磨灭的一部分．空间中，教室的形状近似一个正六棱柱．设正六棱柱中，所有棱长均相等，M、N分别是四边形，的中心，设MN与所成的角为，与所成的角为，则（    ） A．120° B．90° C．75° D．60° 2．（2021·北京·101中学高二期中）如图，在平面四边形ABCD中，设AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体.使⊥平面BCD，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．与平面所成的角为60° D．四面体的体积为 3．（2021·北京·人大附中高二期中）如下图，在正方体中，分别是棱的中点，点在四边形的四边及其内部运动，下列命题，错误的是（    ） A．点在线段上时，就有； B．点在线段上时，就有平面 C．三棱锥的体积有最大值； D．直线与平面所成的角为 二、填空题 4．（2021·北京·101中学高二期中）如图，在三棱柱中，侧棱底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC=2，=3，D是的中点，点F在线段上，当AF=___________时，CF⊥平面. 5．（2021·北京·人大附中高二期中）如图，平面平面，，，与两平面、所成的角分别为和，过点、分别作两平面交线的垂线，垂足为、，则=______． 6．（2021·北京八中高二期中）在棱长为6的正方体中，是的中点，是该正方体侧面上的点，且满足，则三棱锥的体积最大值是__________. 7．（2021·北京·人大附中高二期中）如图，直线PA垂直于圆O所在的平面，内接于圆O，且AB为圆O的直径，点M为线段PB的中点现有以下命题： ；平行APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长． 其中正确的命题为______． 三、解答题 8．（2021·北京八十中高二期中）如图，在直三棱柱中，，点D是线段BC的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值. 9．（2021·北京·景山学校高二期中）如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 10．（2021·北京·汇文中学高二期中）如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，． （1）证明平面； （2）设二面角为，求与平面所成角的大小 参考答案 1．A 【分析】根据题意画出图形，通过平行关系得MN与所成的角就是和所成的角，与所成的角为或其补角，通过研究几何关系，进行计算，得到结果. 【详解】 根据题意画出图形，由图形特点知，M、N分别是四边形，的中心，即分别为的中点，过点分别作的垂线， 可知四边形是平行四边形，， 故MN与所成的角就是和所成的角， 即角，， 与所成的角为或其补角， 设六棱柱棱长为2，可求得 即 .. 故选：A. 2．B 【分析】由已知中四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，我们根据线线垂直的判定方法，可证明A的正误，利用线面垂直的性质，可以判断B的对错，由与平面所成的角为知C的真假；求出四面体的体积即可判断D的真假． 【详解】解：四边形中，，，，平面平面， 则由与不垂直，，故与平面不垂直，则仅与平面与平行的直线垂直，故A错误； 由，平面平面，我们易得平面，，又由，，可得，因为，则平面，又平面，所以，，故B正确； 由，平面平面，易得平面，则即为线面角的平面角，，，，△为等腰直角三角形，，则与平面所成的角为，知C不正确； 四面体的体积，则D错误. 故选：B. 3．D 【分析】对A：证明平面MEG即可判断A选项正确；对B：证明平面平面即可判断B选项正确；对C：当在E点时，三棱锥的高最大，而底面三角形面积为定值，从而即可判断C选项正确；对D：当在E点时，即可判断D选项错误. 【详解】解：对A：在正方体中，由题意，平面ABCD，所以， 又，，所以平面MEG， 又，所以平面MEG， 所以点在线段上时，，故A选项正确； 对B：由题意，，因为平面，平面，所以平面；同理，因为，所以平面； 又，所以平面平面， 所以点在线段上时，平面，故B选项正确； 对C：过N作，因为平面平面且交线为， 所以平面，即平面， 所以三棱锥的体积为， 当在E点时，线段的长度最大，此时三棱锥的体积有最大值，故C选项正确； 对D：当在E点时，直线平面，所以直线与平面所成的角为0，故D选项错误. 故选：D. 4．1或2##2或1 【分析】由已知判断平面，然后说明，设，通过勾股定理可求出. 【详解】由已知得平面，又平面，所以， 若CF⊥平面，则必有， 设，则，，， 所以由得，解得或2， 所以当或2时，CF⊥平面. 故答案为：1或2. 5． 【分析】设的长度为，用表示出