北京市重点学校2021-2022学年高二上学期期末数学汇编：直线与圆锥曲线的位置关系

2021北京重点校高二（上）期末数学汇编 直线与圆锥曲线的位置关系 一、单选题 1．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）点P为椭圆上的一点，为椭圆两焦点，那么的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）已知椭圆，O为坐标原点，若M为椭圆上一点，且在y轴右侧，N为x轴上一点，，则点N横坐标的最小值为（ ） A． B． C．2 D．3 3．（2021·北京·清华附中高二期末）“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、双空题 4．（2021·北京·101中学高二期末）已知点在抛物线上，直线交抛物线于两点，且直线与都是圆的切线，则两点纵坐标之和是___________，直线的方程为___________. 三、填空题 5．（2021·北京·101中学高二期末）直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是_____________. 6．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________． 7．（2021·北京·首都师范大学附属中学高二期末）设抛物线的焦点为，为其上的一点，为坐标原点，若，则的面积为 _____. 四、解答题 8．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是、，且. （1）求椭圆的方程； （2）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 9．（2021·北京·人大附中高二期末）已知椭圆过点，且离心率为． (I)求椭圆的方程； (Ⅱ)设直线与椭圆交于两点．若直线上存在点，使得四边形是平行四边形，求的值． 10．（2021·北京八中高二期末）已知椭圆（）的离心率为，左顶点B与右焦点之间的距离为3． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交轴于点，过且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，连接并延长分别与直线交于两点. 若，求点的坐标． 11．（2021·北京·首都师范大学附属中学高二期末）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值. 12．（2021·北京·人大附中高二期末）已知椭圆的左顶点为，动直线与椭圆w交于不同的两点（不与点A重合），点A在以为直径的圆上，点P关于原点O的对称点为M． （Ⅰ）求椭圆w的方程及离心率； （Ⅱ）求证：直线过定点； （Ⅲ）（i）求面积的最大值； （ii）若为直角三角形，求直线的方程． 13．（2021·北京·101中学高二期末）已知椭圆，过点，离心率. （1）求椭圆的标准方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，点的坐标为，设直线和的斜率分别为和，求的值. 14．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为． (1)求椭圆C的焦距； (2)如果，求椭圆C的方程． 15．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点，平行于的直线l在y轴上的截距为，且交椭圆于A，B两不同点． (1)求椭圆的方程； (2)求m的取值范围； (3)求证：直线与x轴始终围成一个等腰三角形． 16．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）已知椭圆，点 （Ⅰ）求椭圆的短轴长和离心率； （Ⅱ）过的直线与椭圆相交于两点，设的中点为，判断与的大小，并证明你的结论. 17．（2021·北京·101中学高二期末）设椭圆为左右焦点,为短轴端点,长轴长为4,焦距为,且,的面积为. (Ⅰ)求椭圆的方程 (Ⅱ)设动直线椭圆有且仅有一个公共点,且与直线相交于点.试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在求出点的坐标,若不存在.请说明理由. 18．（2021·北京·清华附中高二期末）已知椭圆短轴的两个端点与椭圆的右焦点构成面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆的离心率及其标准方程； （2）过点的 直线交椭圆于P，Q两点，线段的中点为M，问在y轴上是否存定点D，使得？若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由. 19．（2021·北京·北师大实验中学高二期末）已知抛物线，O为坐标原点． (1)过点O作两相互垂直的弦，设M的横坐标为m，用m表示的面积，并求面积的最小值； (2)过抛物线上一点引圆的